Encontrar el punto en $6x^2+y^2=262090$ que es la más cercana al punto de $(1045,0)$

Question

Sé que para encontrar el punto en $6x^2+y^2=262090$ que es la más cercana al punto de $(1045,0)$, podemos tratar de minimizar el cuadrado de la distancia $S=(x-1045)^2+262090-6x^2$. Sin embargo, el cálculo nos dice que esta función no tiene un punto mínimo (en lugar de sólo un punto máximo que existe).

Pero si tratamos de minimizar la función de distancia (sin ajustar) entonces podemos encontrar el mínimo.

Así, Cuando exactamente podemos realmente plaza de la función de distancia para encontrar el max/min punto de distancia de los problemas?

Answer 1

No hay nada de malo con usar el cuadrado de la distancia.

Convierte el problema en un único parámetro problema de minimización. Estás buscando el mínimo de una función uniforme en el intervalo de $[-\sqrt{262090/6},\sqrt{262090/6}]$. El valor mínimo se obtiene en un cero de la derivada (un punto crítico) o en uno de los extremos. La función es decreciente apertura de la parábola, para que usted sepa que el punto crítico es un máximo local. Por lo tanto, usted tiene que mirar a los extremos.

Alternativamente, usted podría haber convertido el problema en la minimización de más de $y$. Usted puede resolver ese $x=\pm\sqrt{(262090-y^2)/6}$. Si se dibuja una imagen, queda claro que el punto más cercano debe estar en la mitad derecha de la elipse. (Si usted no cree en las imágenes, podrás tratar las dos mitades por separado). En este medio $x>0$.

Esto lleva a que el cuadrado de la distancia que se está $$ \begin{split} &(x-1045)^2+(y-0)^2 \\=& \frac16(262090-y^2)-2090\sqrt{(262090-y^2)/6}+1045^2+y^2 \\=& \frac56y^2-2090\sqrt{(262090-y^2)/6}+1045+262090/6. \end{split} $$ Ahora cada término es menor al $y=0$, por lo que el mínimo es de a $y=0$. El correspondiente valor de $x$ $\sqrt{262090/6}$ — el extremo de la $x$-intervalo!