Esperanza condicional de $E(\max(X,a)\mid\min(X,a))$ al $X$ está distribuido exponencialmente

Question

Estoy tratando de calcular la esperanza condicional $$E\left[\max{(X,a)} \mid \min{(X,a)}\right]$$ where $X\sim \exp(a)$ and $$ es una constante.

Me puse a $U=\min{(X,a)},W=\max{(X,a)}$, y se calcula la distribución conjunta como $$F_{UW}(u,w)=\begin{cases}P(X\le u,a\le w)+P(X\le w,a\le u)-P(X\le u,a\le u)& u<w\\P(X\le w,a\le w) &w<u\end{cases}$$

Entonces no sé cómo proceder. Puedo diferenciar $F_{UW}$ encontrar la articulación de la densidad? Además, ¿hay alguna forma fácil de calcular, sin encontrar la articulación de la densidad?

Estas es una pregunta similar aquí, pero se trata de dos continuo r.v.

Answer 1

Sugerencia: Usar la Ley de la Total Expectativa, la creación de particiones en los eventos de $X\leq a$$X>a$.

También: $\mathsf E(\max \{X, a\}\mid\min\{X,a\}) ~ = ~ {\mathsf E(a~\mathsf 1_{\min\{X,a\}<a}+X~\mathsf 1_{\min\{X,a\}=a}\mid \min\{X,a\})}$

Answer 2

Usted puede simplificar las cosas, si usted escribe $$\max{(X,a)}=X+a-\min{(X,a)}$$, de modo que \begin{align}E\left[\max{(X,a)} \mid \min{(X,a)}\right]&=E\left[X+a-\min{(X,a)} \mid \min{(X,a)}\right]\\[0.2cm]&=E\left[X \mid \min{(X,a)}\right]+a-\min{(X,a)}\tag{1}\end{align}

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Edit: Para proceder (después de la corrección de un error evidente de que fue señalado), se observa que la \begin{align}E[X\mid \min{(X,a)}=y]&=\left.\begin{cases}y, & y<a\\y+E[X], &y= a\end{casos}\right\}=y+E[X]\mathbf 1_{\{y=a\}}\end{align} donde el segundo caso se debe a la memoryless de propiedades de la distribución exponencial. Por lo tanto \begin{align}E[X\mid \min{(X,a)}]&=\min{(X,a)}+E[X]\mathbf 1_{\{\min{(X,a)}=a\}}=\min{(X,a)}+E[X]\mathbf 1_{\{X\ge a\}}\end{align} que, por sustitución en $(1)$, da el resultado \begin{align}E\left[\max{(X,a)} \mid \min{(X,a)}\right]&=a+E[X]\mathbf 1_{\{X\ge a\}} \end{align}