Ayuda a la desigualdad del valor absoluto: $|x+1| \geq 3$

Question

Encuentra las soluciones de la desigualdad: $$|x+1| \geq 3$$

Lo traduzco como: qué números son al menos $3$ unidades de $1$ ? Así, imaginando una recta numérica, colocaría un círculo relleno en el punto $1$ . Las soluciones estarían entonces en el intervalo $(-\infty,-2] \cup [4,\infty)$ . Pero esto es un error, porque:

¿Por qué reescriben $|x+1|$ como $|x-(-1)|$ ?

Answer 1

La diferencia $|a-b|$ significa la distancia positiva entre dos números $a,b$ en la línea real. Así que cuando se considera $|x+1|$ Esto no significa que la distancia entre $x$ y $1$ porque no es una diferencia, sino la distancia entre $x$ y $-1$ ya que $|x+1|=|x-(-1)|$ .

Answer 2

$$|x+1|\geq3\iff (-3\geq x+1)\lor(x+1\geq 3)\iff (-4\geq x)\lor(x\geq 2) \iff x\in(-\infty,-4]\cup[2,+\infty)$$

Answer 3

Puedes pensarlo así:

Si está resolviendo $|x+1|\ge3$ , quita el signo de valor absoluto y tendrás $x+1\ge3$ . Resolver para $x$ La información que se ofrece es la siguiente $x\ge2$ , lo que podemos ver es parte de la respuesta. Ahora nos falta el intervalo $(-\infty,-4]$ ¿Cómo lo conseguimos? Bueno, lo que no he mencionado antes, y que debería saltar a la vista, es que $|-x-1|=|x+1|$ (piénsalo, si tienes $x=5$ por ejemplo, $|5+1|=6, |-5-1|=6$ también), así que $|x+1|$ podría ser $x+1$ ou $-x-1$ por lo que hay que resolver las dos desigualdades (es decir, hay que resolver las dos $x+1\ge3$ y $-x-1\ge3$ ¡)!

$-x-1\ge3, -x\ge4$ multiplique por $-1$ por lo que tenemos un positivo $x$ en el lado izquierdo. Entonces obtenemos $x\le-4$ (recuerda que hay que cambiar el signo de la desigualdad cuando se multiplica/divide por un número negativo. $x\le-4$ es lo mismo que $(-\infty, -4]$ . Espero que esto ayude.