El pleno del problema pregunta acerca de la siguiente función utilizando es la serie de Maclaurin: $$f(x)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{\sin(z)}{z} & : z \neq 0\\ \;\;\;\;1 & : z=0 \end{array} \right.$$ He representado $\dfrac{\sin(z)}{z}$ como la serie de Maclaurin $$\frac{\sin(z)}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n+1)!}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-...$$
La aplicación de la prueba de razón, nos encontramos con que
$$\left|\lim_{n\to\infty}\frac{z^{2n+1}\cdot(2n+1)!}{z^{2n}\cdot(2n+3)!}\right|$$ $$=\left|\lim_{n\to\infty}\frac{z}{(2n+3)(2n+2)}\right|$$ $$=|z|\left|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(2n+3)(2n+2)}\right|$$ $$=|z|\cdot 0$$ El uso de la notación para el radio de convergencia $R=\frac{1}{\beta}$,$\beta=0$, lo $R=\infty$. Eso no significa que nuestra función es todo, ya que converge en todas partes? Quiero decir, sabemos de una serie que su derivada e integral compartirán el mismo radio de convergencia, de forma que a su vez deben ser convergentes en todas partes. Ahora, sé que cuando no se utiliza la serie, queremos satisfacer la de Cauchy-Riemann ecuaciones y mirar si la función es analítica o no, así que me imagino mirando a la derivada de nuestra serie y que sea convergente en todas partes implica todo. Cualquier persona capaz de verificar mi forma de pensar?
