El truco para demostrar identidades trigonométricas

Question

Esta pregunta está motivada por el siguiente fragmento de Puntos Racionales en Curvas Elípticas de Silverman y Tate:

$$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$$

Si tienes alguna identidad complicada en seno y coseno que quieras probar, todo lo que tienes que hacer es sustituir estas fórmulas, recolectar potencias de $t$, y ver si obtienes cero. (¡Si te hubieran explicado esto en la escuela secundaria, todo el tema de las identidades trigonométricas se habría convertido en un ejercicio trivial de álgebra!)

Me di cuenta de que tienen toda la razón. La sustitución anterior y la fórmula de De Moivre nos permiten convertir cualquier ecuación polinómica en $\left\{\sin n \theta, \cos n\theta \right\}_{n\in \mathbb{N}}$ en una ecuación polinómica en $t$. Y una ecuación polinómica en $t$ puede ser simple de verificar (aunque a veces laboriosa).

¿Existen fórmulas trigonométricas en una variable que no se puedan derivar mediante este método? Si conoces alguna, por favor señálala.

Además, ¿existen paquetes de software que utilicen este método para verificar fórmulas trigonométricas? Me gustaría conocer cualquier algoritmo utilizado para verificar identidades trigonométricas.

¡Gracias! :)

Answer 1

En este momento, una respuesta simple es "cualquier fórmula trigonométrica que involucre más de una variable". La solución más directa, en mi opinión, no implica generalizar esta idea, sino usar en su lugar la fórmula de Euler (generalizar esta idea requiere usar la fórmula de adición de ángulos, mientras que en el enfoque de la fórmula de Euler, la fórmula de adición de ángulos es un corolario). Es decir, en lugar de hacer las siguientes sustituciones

$$\cos \theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}, \sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}$$

y de manera similar para cualquier otra variable que aparezca.