Límite de $x$ va a cero de una función arbitraria

Question

Deje $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ser una función con la propiedad de que $f(a+b)=f(a)+f(b)$ para todos los números reales $a$$b$. Suponga que el límite de $x\to 0$ $f(x)$ es igual a algún número real $L$. Espectáculo $L=0$.

Empecé a intentar utilizar el epsilon-delta definición de continuidad, pero estoy atascado. Por favor, ayuda!

Edit: Aunque sé que las funciones para las que esto es cierto, por ejemplo, $f(x)=cx$, yo no puedo asumir algo que no está dado.

Answer 1

Nota $$\tag{1}f(a+a)=2f(a).$$ Also note that as $un\rightarrow 0$, we also have $a+a\rightarrow 0$. From $(1)$, we deduce that $L=2L$; whence $L=0$.

Answer 2

Sugerencia: Si $f$ es idénticamente cero, está hecho. De lo contrario, encontrar algo de $x$ que $f(x) \neq 0$ y considerar la posibilidad de $f(nx)$ grandes $n \in \mathbb{N}$.

Edit: Ah, leído mal el problema. Pensé que estaban interesados en el límite de $x \rightarrow \infty$. Voy a dejar esto, sólo por diversión.

Answer 3

Deje $a=b=0$. Entonces $$f(0)=f(0)+f(0).$$ Así conocemos $f(0)$.

Vamos $a=x$, $b=-x$. Entonces $$f(a+b)=f(0)=f(x)+f(-x).$$ Deje $x\to 0$.