¿Hay otras soluciones para esta ecuación?

Question

Considere la ecuación $1-t = tx^{1-2t}$ para algún número complejo $t$ y real $x$ . ¿Existen otras soluciones a esta ecuación además de $\Re(t) = \frac{1}{2}$ ?

Mi intento: La ecuación anterior se puede escribir de la forma $\dfrac{x^t}{t} = \dfrac{x^{1-t}}{1-t}$

Lo que puede interpretarse como
$\int_0^x u^{-\alpha} \mathrm {d}u = \int_0^x u^{\alpha-1} \mathrm {d}u $ , donde $\alpha= \Re(t)$ .

Interpretando estas integrales como áreas bajo las respectivas curvas, observe que la igualdad requiere que $-\alpha = \alpha - 1$ , lo que da como resultado $\alpha= 1/2$ ¿como se requiere?

Answer 1

Hay al menos una solución más. Aproximadamente, toma logaritmos en ambos lados: $$\log(1-t) = \log(tx^{1-2t}) = \log(t) + (1-2t)\log(x)$$

Reordenación y toma de exponenciales: $$x = \exp\left(\frac{1}{1-2t}\log\left(\frac{1-t}{t}\right)\right) = \left(\frac{1-t}{t}\right)^\frac{1}{1-2t}$$

Answer 2

Esta ecuación tiene infinitas soluciones de la siguiente forma:

$$ x=\left(\frac{1}{t}-1 \right)^{1/(1-2t)} $$

¿Tal vez debería aclarar su pregunta?