El Diámetro Máximo Teorema De

Question

Me estoy haciendo un poco de teoría acerca de uno de mis cursos, Tema Seleccionado en la Geometría Diferencial y tengo dos preguntas relacionadas con El Diámetro Máximo Teorema, de la Xia libro.

Mi primera pregunta es, ¿por qué podemos elegir un $a$$b$, como está escrito en la prueba?

La segunda sería, cómo calcular que el primer autovalor de una $n$-dimensiones hemisferio es igual a $n$.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

He añadido mis comentarios a continuación para su integridad.

Primera nota de que la integral de $f$ $g$ son finitos, ya que por elípticas regularidad son lisas, y el dominio es finito. Como alternativa, para ver que estos son finitos en cuenta que desde el primer autovalor es determinado como el minimizer de la de Rayleigh-Ritz cociente, tenemos que $$\int_{B(p)} f^2~d\mathrm{vol} < +\infty,$$ where $f$ is the first Dirichlet eigenfunction of the ball $B(p):=B(p,\pi/2).$ Again, since the domain is bounded, we can use Holder's inequality to deduce that $f\en L^1(B(p);d\mathrm{vol})$, and so in particular $\int_{B(p)} f~d\mathrm{vol} < +\infty$.

Creo que hay un ligero error en la prueba como se indica. Trabajando a través de la prueba de ver que sólo es necesario que cualquiera de las $a$ o $b$ es distinto de cero. Si $\int_M f~d\mathrm{vol}=\int_Mg~d\mathrm{vol}=0$, entonces la elección de la $a$ $b$ es suficiente. Si sólo uno de estos integrar a cero, decir $\int_M f~d\mathrm{vol}=0$ pero $\int_M g~d\mathrm{vol}\neq 0$, entonces usted puede tomar $a=1$$b=0$. En el último caso, cuando ambos son distintos de cero, usted puede elegir fácilmente los $a$$b$, ya que usted tiene un sobredeterminada sistema lineal. Esto se refiere a su primera pregunta.

Ahora para hacer frente a su segunda pregunta. Vamos $$\mathbf{S}^n_+:=\{\vec{x}\in\mathbf{S}^{n}~:~x_{n+2} \geq 0\}\subseteq\mathbf{R}^{n+2}$$ be the $n$-dimensional hemisphere. Note that if we parameterize this surface by polar coordinates $(\xi\phi)\in\mathbf{S}^{n-1}\times[0,\pi]$ where $\phi$ is the latitude, i.e. $x_{n+2}=\cos\phi$, podemos mostrar que la de Laplace-Beltrami operador en coordenadas está dada por $$\Delta u = \frac{1}{(\sin\phi)^{n-1}}\frac{\partial}{\partial\phi}\left((\sin\phi)^{n-1}\frac{\partial u}{\partial\phi}\right)+(\sin\phi)^{n-1}\Delta_{\mathbf{S}^{n-1},\xi}u,$$ donde $\Delta_{\mathbf{S}^{n-1},\xi}$ es la de Laplace-Beltrami operador en el $(n-1)$-dimensiones de la esfera en la $\xi$-coordenadas (esta descomposición puede ser fácilmente demostrado por un cálculo directo). Ahora considere la verdadera función con valores de $u:\mathbf{S}^{n}_+\to\mathbf{R}$ dada por $$u(\vec{x})=x_{n+2}=\cos\phi.$$ Un cálculo directo muestra $$\Delta u = n\cos\phi = nu,\qquad\text{and}\qquad u|_{\partial\mathbf{S}^n_+}\equiv 0$$ So we know that $\lambda_1(\mathbf{S}^n_+)\leq n$. On the other hand, recall that the Ricci curvature of the sphere is given by $$\mathrm{Ric}_{\mathbf{S}^n_+}(Y,Z)=(n-1)\langle Y,Z\rangle,$$ and so by the Lichnerowicz formula we deduce that $\lambda_1(\mathbf{S}^n_+)\geq n$. The Lichnerowicz formula is usually stated for compact manifolds without boundary, but since we are considering the Dirichlet eigenvalue problem the proof still carries though (we pick up nothing from the boundary when we apply integration by parts). So we have shown $\lambda_1(\mathbf{S}^n_+)=$n.