Cómo encontrar la integración con Desconocidos

Question

Tengo el siguiente problema que tengo problema para saber por dónde empezar:

• La pregunta: $\lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x\frac{t^2}{\sqrt{a+2t^5}}dt} {bx-esinx}=\frac{1}{\pi}$

• La parte en la que me gustaría saber por dónde empezar: $\int_0^x\frac{t^2}{\sqrt{a+2t^5}}dt$

Agradezco sugerencias sobre cómo puedo llegar a resolver la integración de la parte antes de pasar a resolver el límite de la pregunta como un todo.

Answer 1

Usted no necesita para evaluar la integral.

Simplemente el uso de L'Hopitals Regla. Integral se desvanecen en la toma de derivados.

Para tomar la derivada de w.r. t. $x$, el uso de Leibnitz Integral de la Regla.

Answer 2

Si $b\neq e$, a continuación, dividir el numerador y el denominador por $x$ podemos ver que el límite es de $0$ en lugar de $1/\pi$. Por lo tanto debemos tener $b=e$ y estas constantes deben ser distinto de cero y por lo tanto el uso de $(x-\sin x) /x^3\to 1/6$ vemos que la condición dada implica $$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^3}\int_{0}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{a+2t^5}}\,dt=\frac{b}{6\pi}\tag{1}$$ Further note that $a>0$ so that the integral makes sense at $t=0$. If $x>0$ then we have for $0<t<x$ $$\frac{t^2}{\sqrt{a+2x^5}}\leq \frac{t^2}{\sqrt{a+2t^5}}<\frac{t^2}{\sqrt{a}}$$ and integrating this with respect to $t$ on $[0,x]$ we get $$\frac{1}{3\sqrt{a+2x^5}}<\frac{1}{x^3}\int_{0}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{a+2t^5}}\,dt<\frac{1}{3\sqrt{a}}$$ and thus by Squeeze Theorem the limit $(1)$ is equal to $3/\sqrt{a}$ and thus from $(1)$ we have $9/a=b^2/36\pi^2$ so $a$ is determined in terms of $b=e$.