¿En qué condiciones un anillo $R$ tienen la propiedad de que todo divisor nulo es un elemento nilpotente?
Si tenemos un anillo $R$ sabemos que todo elemento nilpotente es cero o divisor de cero.
Si $A$ es el conjunto de todos los nilpotentes excepto el cero, y $B$ es el conjunto de todos los divisores nulos distintos de cero, entonces ¿bajo qué condiciones en $R$ ¿tenemos $A = B$ ?
En términos más generales, un idempotente no trivial es un divisor cero que nunca es nilpotente. De esto se deduce que un anillo de este tipo no puede tener ningún idempotente no trivial.
La exclusión de idempotentes no triviales es realmente fuerte. En particular, implica que ninguno de los ideales no triviales de derecha o izquierda son sumandos. (Los dominios conmutativos son un caso de esto, por supuesto, pero en ese caso los divisores cero y los elementos nilpotentes son todos 0 :) )
He aquí un nítido resultado parcial. En el caso de que $R$ es Artiniano derecho, todos los elementos son unidades o divisores de cero. Un anillo artiniano derecho sin idempotentes no triviales es local . Como el ideal máximo es nilpotente, está claro que todos los divisores de cero son nilpotentes. En resumen, esto dice que entre los anillos artinianos rectos, los locales son exactamente los que tienen la propiedad "ZD implica nilpotente".
He visto a Jacoson llamar a los anillos conmutativos sin idempotentes no triviales anillos conectados pero tengo que decir que no tengo en mente muchos ejemplos exóticos de ellos. Supongo que estar conectado probablemente no caracteriza la propiedad "ZD implica nilpotente".
Hay muchos ejemplos de anillos reducidos que no son dominios que no son ejemplos para su propiedad. Por ejemplo, $F\times F$ para un campo $F$ no tiene elementos nilpotentes pero obviamente tiene divisores cero. Este anillo ya es bastante "bonito" (¡artiniano conmutativo!) e incluso se puede hacer finito utilizando un campo finito.
D. Lazard me señaló en una conversación que $\{0\}$ es un ideal primario si $Nil(R)$ es primo y no hay ningún otro primo asociado. Esto también está muy bien :)
Si $A$ es un conmutativa con esta propiedad, entonces los divisores de cero forman un ideal de $A$ (ya que el nilradical es un ideal), de hecho a prime y, por tanto, es el único ideal primo mínimo de $A$ . Por el contrario, si $A$ tiene un único ideal primo mínimo que contiene todos los divisores nulos, entonces éste tiene que ser el nilradical, por lo que cada divisor nulo es nilpotente.
La gente parece estar llamando a estos anillos "anillos primarios", ya que esta condición caracteriza a los anillos que se obtienen después de cociente de un anillo arbitrario por un ideal primario. No sé hasta qué punto se utiliza este término.
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