Encontrar el número complejo Z en $\lvert Z\rvert= Z+3-2i$

Question

$$\lvert Z\rvert = Z+ 3-2i$$

lo que hice hasta ahora es deje $Z = a +bi$ por lo $$\sqrt{a^2 + b^2} = a+bi+3-2i$$

$$\sqrt{a^2 + b^2} = a+3 + i (b-2)$$

ahora lo que estoy pensando es el cuadrado ambos lados, pero que no funciona, ¿algún consejo?

Answer 1

Sugerencia

Una vez $\sqrt{a^2+b^2}\in \Bbb R$ $(a+3)+i(b-2)\in \Bbb R$ y, a continuación,

$$\sqrt{a^2+b^2}=a+3\\ b-2=0$$

Se puede terminar?

Answer 2

Sugerencia: de $z = |z| - 3 + 2i\,$, tomando el complejo conjugado de ambos lados da $\bar z = |z| - 3 - 2i\,$. Luego, multiplicando los dos y el uso de ese $z \bar z = |z|^2\,$:

$$ |z|^2 = \left(|z| - 3 + 2i\right)\left(|z| - 3 - 2i\right) $$

La anterior es una ecuación lineal en la $|z|\,$. Una vez $|z|$ es determinado, $z$ sigue a partir de la relación original.

Answer 3

Dado que para $|z|$ es real, sabemos que $w:=z+3-2i$ es real, y por lo $\Im(w)=0$.

Si $z=a+bi$, esto significa que $w=(a+3)+(b-2)i$. Desde antes, tenemos que $b=2$.

De $|z|=w$ tenemos que $\sqrt{a^2+2^2}=a+3$.

Answer 4

Resolver $$ \lvert z \rvert = z + 3 - 2i \etiqueta{1} $$

---

1 Observación: $\lvert z \rvert$ es real, mientras que el lado derecho tiene el término imaginario $-2i$.

Para la igualdad, la parte imaginaria de $z$ debe $2i$ a cancelar el componente imaginario, que es $$z=x+2i\tag{2}$$

2 El uso de $(2)$ $(1)$ obtener $$ \lvert z \rvert = \lvert x + 2i \rvert = \sqrt{x^{2}+4} = x + 3 \etiqueta{3} $$

3 Solucionar $(3)$ recuperar $$ x = -\frac{5}{6} $$

4 El valor de $z$ que resuelve $(1)$ es $$ z = -\frac{5}{6} + 2 i $$

---

La confirmación $$ \begin{align} \require{cancel} \lvert z \rvert &= z + 3 - 2i \\[10pt] \Big\lvert -\frac{5}{6} + 2 i \Big\rvert &= \left(-\frac{5}{6} \cancel{+ 2 i} \right) + 3 \cancel{- 2i} \\[10pt] \sqrt{\frac{25}{36} + 4} &= -\frac{5}{6} + 3\\[10pt] \sqrt{\frac{169}{36}} &= \frac{13}{6}\\[10pt] \frac{13}{6} &= \frac{13}{6} \end{align} $$