Integrales dobles Cálculo 3

Question

Utiliza una integral doble para encontrar el volumen del sólido en el primer octante delimitado por las superficies: z = xy, z = 0, y = x y x = 1.

Lo hice $$\int_0^1 \int_0^x (xy) \ dy\ dx$$

$$= \int_0^1 \frac12xy^2\bigg|_{y=0}^x \,dx = \int_0^1 \frac12x^3 \, dx = \frac18x^4\bigg|_0^1 = \frac{1}{8}$$

No creo que tenga razón. ¿Esta integral es incorrecta?

Answer 1

Su trabajo es correcto. Para encontrar el volumen de una figura entre dos superficies, $z=f(x,y)$ y $z=g(x,y)$ donde $f>g$ , hay que calcular la integral doble

$$\iint_R f(x,y)-g(x,y) \ dy\ dx$$

El integrando es esencialmente la altura del volumen en el $z$ dirección en cada punto. Su altura es $f - g = xy - 0 = xy$ .

Para elegir sus límites para $R$ Piensa en la "sombra" que hay debajo de las superficies. O, en tu caso, dibuja el triángulo formado con $y=x$ , $y=0$ y $x=1$ .

Los límites seleccionados coinciden con esta región. $y$ oscila entre $0$ hasta que llegue a la línea $y=x$ . Imagínese que esto es como crear pequeñas tiras verticales que se mueven hacia arriba en el eje x y golpean $y=x$ . Entonces $x$ va de $0$ a $1$ . Aquí estás sumando todas esas pequeñas tiras verticales para haber formado tu triángulo $R$ . Pero todo este tiempo, ¡has estado calculando la altura en cada punto! De ahí que tengas un volumen.