Interesante Suma De Congruencia

Question

Vamos $5\mid a$, $\gcd(a,b)=1$, y $b\equiv 2\bmod 5$. Cómo puede uno demostrar que $\sum_{k=1}^{a}k\lfloor\frac{kb}{a}\rfloor\equiv 2\bmod 5$?

Del mismo modo, podemos demostrar que si en lugar de $b\equiv 3\bmod 5$,$\sum_{k=1}^{a}k\lfloor\frac{kb}{a}\rfloor\equiv 3\bmod 5$?

Answer 1

Desde $(a,b)=1$, $\left\{\frac{kb}{a}\right\}$ rangos de $\left\{\frac1a,\frac2a,\dots,\frac{a-1}{a}\right\}$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^{a-1}\left\{\frac{kb}{a}\right\}^2 &=\sum_{k=1}^{a-1}\left\{\frac{k}{a}\right\}^2\\ &=\frac{(2a-1)(a-1)}{6a}\tag{1} \end{align} $$ Sin embargo, también tenemos $\left\{\frac{kb}{a}\right\}=\frac{kb}{a}-\left\lfloor\frac{kb}{a}\right\rfloor$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^{a-1}\left\{\frac{kb}{a}\right\}^2 &=\sum_{k=1}^{a-1}\left(\frac{kb}{a}-\left\lfloor\frac{kb}{a}\right\rfloor\right)^2\\ &=\frac{b^2}{a^2}\sum_{k=1}^{a-1}k^2-2\frac{b}{a}\sum_{k=1}^{a-1}k\left\lfloor\frac{kb}{a}\right\rfloor+\sum_{k=1}^{a-1}\left\lfloor\frac{kb}{a}\right\rfloor^2\\ &=\frac{b^2}{a^2}\frac{(2a-1)(a-1)a}{6}-2\frac{b}{a}\sum_{k=1}^{a-1}k\left\lfloor\frac{kb}{a}\right\rfloor+\sum_{k=1}^{a-1}\left\lfloor\frac{kb}{a}\right\rfloor^2\tag{2} \end{align} $$ Restando $(2)$ $(1)$ y multiplicando por $a$, obtenemos $$ \begin{align} 2b\sum_{k=1}^{a-1}k\left\lfloor\frac{kb}{a}\right\rfloor =\frac{(b^2-1)(2a-1)(a-1)}{6}+a\sum_{k=1}^{a-1}\left\lfloor\frac{kb}{a}\right\rfloor^2\tag{3} \end{align} $$ Si $m\mid a$$(m,2b)=1$, $(3)$ implica $$ \sum_{k=1}^{- 1}k\left\lfloor\frac{kb}{a}\right\rfloor \equiv\frac{b^2-1}{12b}\pmod{m}\etiqueta{4} $$ Para$m=5$$b\equiv2\pmod{5}$, obtenemos $\frac{b^2-1}{12b}\equiv2\pmod{5}$

Para$m=5$$b\equiv3\pmod{5}$, obtenemos $\frac{b^2-1}{12b}\equiv3\pmod{5}$

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Aclaración

Desde $(m,2b)=1$, la Identidad de Bezout dice que no se $x,y\in\mathbb{Z}$, de modo que $$ mx+2by=1\etiqueta{5} $$ El cuadrado de $(5)$ da $$ m(mx^2+4xby)+4b (^2)=1\etiqueta{6} $$ La ecuación de $(6)$ implica $$ 4b (^2)\equiv1\pmod{m}\etiqueta{7} $$ $(7)$ dice que $4b$ tiene una inversa mod $m$.

Si $3\not\mid m$, $(m,3)=1$ $3$ tiene una inversa mod $m$.

Si $3\mid m$,$3\not\mid b$. Por lo tanto, $3$ divide cualquiera de las $b-1$ o $b+1$, y por lo tanto $3\mid b^2-1$.

Por lo tanto, si o no $3\mid m$, $(4)$ hace sentido.