Encontrar $f'(0)$ $f(x + y)$

Question

Deje $f$ ser una función derivable de satisfacciones

$$f(x + y) = e^xf(y) + e^yf(x)$$

para todos los $x, y \in \mathbb{R}$. Encontrar $f'(0)$.

Traté de usar la definición de $f'(0)$ hacer este:

$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h}$$

El problema aquí es que yo tendría que aplicar la regla de L'Hospital en el lado derecho , que me daría

$$f'(0) = \frac{\lim_{h\to0}f'(h)}{\lim_{h\to0}1} = f'(0)$$

Esto no será de mucha ayuda. Alguna idea?

Answer 1

Es una pregunta con trampa. Una función que satisface si $f(x) = cxe^x$ para cualquier constante $c$. Por lo $f'(0)=c$, y esto puede ser cualquier número real.

Usted puede obtener por encima de la forma funcional por: $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{e^xf(h)}{h} + \frac{f(x)(e^h-1)}{h}$
y así, los límites y la definición de $\lim_{h\rightarrow 0} f(h)/h=c$ le da:
$f'(x) = ce^x + f(x)$.
Así que acabamos de resolver la ecuación diferencial.

Answer 2

Dado $f(x+y) = e^{y}f(x)+e^{x}f(y)$

Dividir ambos lados por $e^{x+y}\;,$ tenemos

$\displaystyle e^{-(x+y)}f(x+y) = e^{-x}f(x)+e^{-y}f(y)$

Ahora Vamos a $\displaystyle e^{-x}f(x) = g(x)$, Entonces la ecuación de Convertir en $g(x+y)=g(x)+g(y)$

Que es un Funcional de Cauchy ecuación cuya solución es $g(x)=cx$.

Por lo $\displaystyle g(x)=e^{-x}f(x)=cx\Rightarrow f(x)=cxe^{x}$

Por Lo $f{'}(x)=c\left\{xe^{x}+e^{x}\right\}$, Lo $f^{'}(0)=c$