Confundido sobre el concepto de distribuciones y funciones

Question

Acabo de aprender el concepto de distribuciones, pero estoy confundido sobre el concepto, por lo que mi pregunta es simple y puede parecer un poco extraño (lo siento por eso )

En primer lugar, sé que una distribución es una función lineal continua que va de $D(\Omega)$ a un número complejo.
Así que si $f\in D'(\Omega)$ entonces el parámetro para $f$ debería ser una función, ¿verdad? (que quiero decir $f$ debería ser como $f(g)$ o $f(\varphi)$ , ( $g$ y $\varphi$ son funciones), pero no $f(x)$ donde $x$ es un número real)

¿Y es ésta la principal diferencia entre una función y un funcional?

Pero también veo ejemplos como "que $f\in D'(\Omega)$ sea una distribución definida por $f(x)=2x$ cuando $x>0$ y $f(x)=0$ cuando $x\leq 0$ )". ¿Qué significa esto? ¿Es $f$ ¿se trata de una distribución o de una función?

En segundo lugar, una distribución $f$ operar sobre una función $\varphi$ debe definirse mediante $<f,\varphi>$ es igual a algo, pero por qué tanto en mi nota como en algunos libros de texto, cuando se habla de la multiplicación por $C^{\infty}$ funciones y diferenciación, todos empezaron con
$<af,\varphi>=\int_\Omega af\varphi dx=<f,a\varphi> \forall \varphi \in D(\Omega)$ . Supongamos $f\in C$ (o $f\in L_{loc}^{1}(\Omega)$ ) y $a\in C^{\infty}(\Omega)$
y $<\partial^\alpha f,\varphi>=\int_{\mathbb R^N}(\partial ^\alpha f)\varphi dx=...$

¿Por qué aquí las distribuciones se establecen como integrales automáticamente? ¿O debemos pensar en la distribución como integral como arriba al hacer operaciones en las distribuciones?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Si $f$ es una función ordinaria sobre un conjunto abierto $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ se puede definir un funcional lineal mediante $$ \Phi_{f}(g) = \int_{\Omega}fg dx,\;\;\;g \in \mathcal{C}_{c}^{\infty}(\Omega), $$ donde $\mathcal{C}_{c}^{\infty}(\Omega)$ consistente en $\mathcal{C}^{\infty}$ funciones. Si $f$ eran diferenciables y $\alpha$ eran un $n$ -índice, entonces la derivada $f^{(\alpha)}$ satisfaría la siguiente identidad obtenida por integración por partes en cada variable: $$ \Phi_{f^{(\alpha)}}(g)=\int_{\Omega}f^{(\alpha)}gdx=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}fg^{(\alpha)}dx,\;\;\; g\in\mathcal{C}^{\infty}_c(\Omega) $$ Por lo tanto, es natural definir $\Phi_{f}^{(a)}$ es la función definida por $$ \Phi_{f}^{(\alpha)}(g)=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}fg^{(\alpha)}dx. $$ La ventaja de este tipo de formalismo es que cada funcional tiene todos los órdenes de derivadas porque las derivadas recaen sobre las funciones de prueba. Y, si $f$ es clásicamente diferenciable, entonces $\Phi^{(\alpha)}_{f}=\Phi_{f^{(\alpha)}}$ . Así que se trata de una ampliación real de la noción de derivada, y no sólo de una definición arbitraria. Incluso sin eso, tiene sentido definir lo siguiente para "distribuciones" generales: $$ \Phi^{(\alpha)}(g) = (-1)^{|\alpha|}\Phi(g^{(\alpha)}). $$ Por supuesto, el punto principal es que esta definición se reduce a la ordinaria cuando las distribuciones se representan como $\Phi_{f}$ para una función bastante agradable $f$ . Y la razón por la que las distribuciones son tan útiles es que permiten encontrar "soluciones" de ecuaciones diferenciales parciales. Lo complicado es demostrar que la solución es una solución real, lo cual no siempre es cierto.

Cuando estés trabajando en $\Omega=\mathbb{R}^{n}$ La mejor topología de las funciones consiste en buscar las condiciones que se conservan bajo la transformada de Fourier, que es como surgió el espacio de Schwartz. https://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz_space . En este contexto, cada distribución tiene una transformada de Fourier. La idea procede de la observación de que $$ \int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}g dx = \int_{\mathbb{R}^{n}}f\hat{g}dx,\;\;\; f,g\in L^1(\mathbb{R}^n). $$ Así, la transformada de Fourier de la distribución de Schwartz se define como $$ \hat{\Phi}(f) = \Phi(\hat{f}). $$ La delta de Dirac vive en el espacio de las distribuciones de Schwartz, porque lo siguiente es una distribución: $$ \delta(f)=f(0) $$ Y, como era de esperar, $$ \hat{\delta}(f) = \delta(\hat{f})= \hat{f}(0)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} fdx = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}1(f) \\ \hat{\delta} = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}1. $$ Los argumentos habituales de que la $\delta$ tiene sentido y que una transformada de Fourier dé paso a unas Matemáticas rigurosas en este contexto. La función delta(al) es algo agradable en Matemáticas.

Answer 2

Nota: Acabo de empezar a aprender esto, así que corregidme si me equivoco.

Existe una asociación entre la función $F[\varphi] = \langle F,\varphi\rangle$ y la función (generalizada) $f$ tal que $$F[\varphi] = \int_\Omega f(x)\varphi(x)dx$$

Ambos $F$ y $f$ a menudo se denominan la distribución .

Un funcional es un mapeo lineal desde un espacio vectorial (en este caso el espacio de las funciones de prueba) al campo base (los números complejos o reales).

Tenga en cuenta que no todas las distribuciones $F$ puede escribirse como $$F[\varphi] = \int_\Omega f(x)\varphi(x)dx$$ para un función $f:\Omega \to \Bbb C$ . Pero supongo que a la gente le gusta tanto la notación que simplemente ampliamos la noción de función para que no importe qué funcional $F$ es, lo escribimos en esa forma integral. Entonces, si no hay tal función que haga el trabajo que queremos de $f$ nos limitamos a definir las propiedades de $f$ de forma que coincida con la prescripción de $F$ y llamarlo función generalizada . Pero de nuevo, la nomenclatura es bastante ambigua ya que tanto $F$ y $f$ puede denominarse función generalizada o distribución. Pero, siguiendo el ejemplo del físico Bernard Jancewicz, me gusta separar las ideas ( $F$ es la distribución y $f$ es la función generalizada).

Answer 3

Todas las funciones "razonables" son distribuciones, pero no todas las distribuciones son funciones. Cuando oiga hablar de una función $f$ como distribución, los hablantes suelen referirse a la funcional $\varphi \to \int_\Omega f\varphi.$ Si, por ejemplo $f$ es integrable por Lebesgue en cada subconjunto compacto de $\Omega,$ como tu $2x,0$ ejemplo, entonces $f$ es razonable. Incluso algunas funciones "poco razonables" pueden definir distribuciones, pero esa es una discusión para otro día lluvioso.