Encontrar una base para el espacio de cocientes de polinomios sobre $\mathbb{R}$

Question

$F$ es un campo y definir $F(t):=\lbrace \frac{p}{q} \mid p,q \in F[t], q\neq0 \rbrace$. Encontrar una base para $\mathbb{R}(t)$.

Sé que la base de los polinomios de más de $\mathbb{R}$$\lbrace 1,x,x^2,x^3,\ldots \rbrace$, por lo que intuitivamente supongo que la base para $\mathbb{R}(t)$$\lbrace 1,x,x^2,\ldots,\frac{1}{x},\frac{1}{x^2},\ldots \rbrace$. Es esto correcto? Si no, ¿cuál es el enfoque correcto para encontrar la base?

Answer 1

Algunos elementos de respuesta.

La familia de vectores $\mathcal F = \{1,t,t^2, \dots, \frac{1}{t}, \frac{1}{t^2}, \dots\}$ es linealmente independiente. Sin embargo $\mathcal F$ no abarca $\mathbb R(t)$. Si ese es el caso, usted sería capaz de encontrar a $a_0, \dots, a_n, b_{-1}, \dots, b_{-m}$ tal que para todos los $t \in \mathbb R$ $$\frac{1}{1+t^2}=a_0 + a_1 t + \dots + a_n t^n + \frac{a_{-1}}{t} + \dots + \frac{a_{-m}}{t^m} \tag{1}$$ As $$\lim\limits_{t \to +\infty} \frac{1}{1+t^2} = \lim\limits_{t \to +\infty} \frac{a_{-1}}{t} = \dots = \lim\limits_{t \to +\infty} \frac{a_{-m}}{t^m} = 0$$ $(1)$ implies $a_0=a_1= \dots = a_n=0$. Hence you have for all $t \in \mathbb R$ $$\frac{1}{1+t^2}=\frac{a_{-1}}{t} + \dots + \frac{a_{-m}}{t^m} \tag{2}$$ You will verify that such equality cannot hold for all $t \in \mathbb R$. Hence $\frac{1}{1+t^2}$ doesn't belong to the linear span of $\mathcal F$.

Para encontrar una base, la fracción parcial de la descomposición debe ser de interés. En particular, tenga en cuenta las siguientes subconjuntos de $\mathbb R(t)$ $$\begin{cases} A &= \{1, t, t^2, \dots \}\\ B &= \left\{\frac{1}{(t-a)^n} \, | \, a \in \mathbb R, \, n \in \mathbb N \right\}\\ C &=\left\{\frac{1}{(t^2+2bt+c)^n}, \frac{t}{(t^2+2bt+c)^n} \, | \, b,c \in \mathbb R, \, b^2-c <0, \,n \in \mathbb N \right\} \end{casos}$$ According to partial fraction decomposition, $A \cup B \cup C$ should be a basis of $\mathbb R(t)$ as the irreducible polynomials of $\mathbb R[t]$ are precisely the $t-$ and $t^2+2bt+c$ with $a,b,c \in \mathbb R$ and $b^2-c <0$.