Desde $1/\sqrt{n}$ está disminuyendo, podemos obtener un límite superior de la suma por la informática: $$1+\int_1^N \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 1+2\sqrt{N}$$
Así tenemos a $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{n}} - 2\sqrt{N} = (1+2\sqrt{N}) - 2\sqrt{N} + E(N) = 1 + E(N)$$
Donde $$E(N) = 1+\int_1^N \frac{1}{\sqrt{x}}dx - \sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{n}} > 0$$
es el error de nuestra estimación en el punto de $N$. Ahora se puede estimar $E(N)$?
Utilizando la fórmula de Corolario 2.4 en el pdf enlazado en los comentarios, nos encontramos con que $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{n}} = \int_{1}^N \frac{1}{\sqrt{x}} dx - \int_{1}^N \{x\} \frac{-1/2}{(x)^{3/2}}dx + 1$$
Aquí $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$, que es siempre menor que 1. El centro integral puede ser estimado por $$\left|\int_{1}^N \{x\} \frac{-1/2}{(x)^{3/2}}dx\right| < \int_1^N 1 \cdot \frac{1/2}{(x)^{3/2}}dx = 1-\frac{1}{\sqrt{N}}$$