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Demostrar la desigualdad para todos los $N$

Demostrar que la siguiente desigualdad se cumple para todos los números enteros $N\geq 1$ $$\left|\sum_{n=1}^N\frac{1}{\sqrt{n}}-2\sqrt{N}-c_1\right|\leq\frac{c_2}{\sqrt{N}}$$ donde $c_1,c_2$ son algunas de las constantes.

He tratado de inducción pero no parece prometedor. Alguna idea por favor?

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Stavros Puntos 602

Desde $1/\sqrt{n}$ está disminuyendo, podemos obtener un límite superior de la suma por la informática: $$1+\int_1^N \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 1+2\sqrt{N}$$

Así tenemos a $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{n}} - 2\sqrt{N} = (1+2\sqrt{N}) - 2\sqrt{N} + E(N) = 1 + E(N)$$

Donde $$E(N) = 1+\int_1^N \frac{1}{\sqrt{x}}dx - \sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{n}} > 0$$

es el error de nuestra estimación en el punto de $N$. Ahora se puede estimar $E(N)$?


Utilizando la fórmula de Corolario 2.4 en el pdf enlazado en los comentarios, nos encontramos con que $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{n}} = \int_{1}^N \frac{1}{\sqrt{x}} dx - \int_{1}^N \{x\} \frac{-1/2}{(x)^{3/2}}dx + 1$$

Aquí $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$, que es siempre menor que 1. El centro integral puede ser estimado por $$\left|\int_{1}^N \{x\} \frac{-1/2}{(x)^{3/2}}dx\right| < \int_1^N 1 \cdot \frac{1/2}{(x)^{3/2}}dx = 1-\frac{1}{\sqrt{N}}$$

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