Divisores de grado $2g-2$ en un hyperelliptic curva de género $g$

Question

Supongamos que tengo un divisor $D$ grado $2g-2$ en un hyperelliptic curva de género $g$. A continuación, te puedo demostrar que

a) $K_C\otimes\mathcal{O}(-D)=\mathcal{O}_C$$K_C\cong \mathcal{O}(D)$, o

b) $K_C\otimes\mathcal{O}(-D)\neq \mathcal{O}_C$, pero es no trivial de grado 0 de la línea de paquete. Por lo tanto $h^0(C, K_C\otimes\mathcal{O}(-D))=0$. Por lo tanto $h^0(\mathcal{O}(D))=2g-2+1-g=g-1$, por Riemann-Roch fórmula.

Estoy buscando un ejemplo del tipo siguiente. Dicen género $g=2$. Deje $i$ ser el hyperelliptic involución. Podemos encontrar un divisor $D$ de la forma $D=P+i(P)$ que satisface (b). Que quiero $h^0(C, K_C\otimes\mathcal{O}(-D))=0$. Es esto posible.

O, más generalmente, si $C$ es un hyperelliptic curva de género $g$, es posible encontrar un divisor $D=\Sigma_{j=1}^{g-1} p_j+\Sigma_{j=1}^{g-1} i(p_j)$ grado $2g-2$ que satisface b) o son todos los divisores linealmente equivalente a $K_C$?

Voy a estar agradecido de por ejemplo de los del tipo anterior. Gracias de antemano!

Answer 1

Como Mohan sugiere, (b) no puede ocurrir. De hecho, si $D$ es un eficaz divisor de grado $g-1$ en un hyperelliptic curva de $C$, $D + i(D)$ es un divisor canónico. Recordemos que el hyperelliptic clase $H$ $C$ es el divisor de la clase de las fibras de la canónica mapa de $C \to \mathbb{P}^1$, por lo que es representado por un punto de $P \in C$ más de su hyperelliptic involución $i(P)$. Por Riemann-Roch, la canónica de la clase $K_C$$(g-1)H$. Por lo tanto, si $D = P_1 + \ldots + P_{g-1}$, luego $$ D + i(D) = (P_1 + i(P_1)) + \ldots + (P_n + i(P_n)) = (g-1)H = K_C. $$ $$ \textrm{} $$

Edit: he añadido una explicación de por qué el canónica de la clase de un hyperelliptic curva es $g-1$ veces el hyperelliptic clase (el argumento también se puede encontrar en esta wiki).

Deje $P \in C$ ser un punto de ramificación de la canónica mapa de $C \to \mathbb{P}^1$, entonces el divisor de la clase de $2P$ es el hyperelliptic clase. Tomar el corto secuencia exacta para $2P$, giro por $\mathcal{O}_C(2kP)$ cualquier $k \geq 1$, y tomar global secciones para obtener $h^0(C,2(k+1)P) \geq h^0(C,2kP) + 1$. En particular, $h^0(C,(2g-2)P) \geq g$. (Todavía no hemos usado nada sobre el punto de $P$.)

Ahora, Riemann-Roch dice que $$ h^0(C, (2g-2)P) - h^0(C,K_C - (2g-2)P) = \deg((2g-2)P) -g + 1 = g-1, $$ por lo $h^0(K_C - (2g-2)P) \leq 1$, pero no puede ser igual a cero, de lo contrario la Riemann-Roch igualdad no. De ello se desprende que $h^0(K_C - (2g-2)P) = 1$, pero cualquier divisor de grado -$0$ $h^0 = 1$ es principal (véase esta cuestión), por lo tanto $K_C$ $(2g-2)P$ son linealmente equivalentes. Es decir, $K_C$ $g-1$ multiplicado por el divisor de la clase de $2P$.