Deje $C_b $ ser el espacio de bienes valorados delimitada funciones continuas definidas en $\mathbb {R} $. Deje $S $ ser el subconjunto de las funciones lisas en $C_b $. Mi teoría de la probabilidad del libro dice lo siguiente sin la prueba:
$S $ es denso en $C_b$
¿Por qué es esto cierto?
El libro no menciona esto, pero supongo que $C_b $ está equipado con la norma $||\,\,||_{\infty}$
Se agradece un montón.
Dibujo: Si $a<b<c<d,$$y_1,y_2 \in \mathbb R.$, Entonces hay un $C^\infty$ función que es igual a $y_1$ $[a,b],$ es igual a $y_2$$[c,d]$, y que es monotono en $[b,c].$
Supongamos $f\in C[0,1].$ Por el uniforme de la continuidad no es una función de paso de $s$ que es uniformemente cerca de $f$ $[0,1].$ podemos suponer que la función de paso es igual a $f(0)$ en el primer intervalo y es igual a $f(1)$ en el último intervalo. El uso de $C^\infty$ funciones de la clase se discutió anteriormente, existe una $C^\infty$ función de $g$ tal que $g$ es uniformemente cerca de $s,$ y, por tanto, $f,$ $[0,1]$ $g=f(0)$ $[0,a]$ $g = f(1)$ $[1-a,1]$ para algunos pequeños $a>0.$
No hay nada especial acerca de la $[0,1]$ aquí. Si $f$ es cualquier función continua en $\mathbb R,$ podemos hacer esto en $[n,n+1]$ por cada $n\in \mathbb Z.$ obtenemos $C^\infty $ funciones $g_n$ en cada intervalo, y debido a que estas funciones son absolutamente planos, cerca de los puntos finales, pasta de juntas para dar una función en $C^\infty(\mathbb R)$ que es uniformemente cerca de $f$ $\mathbb R.$
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