Para cualquier secuencia de espacios de Frechet existe una secuencia que lleva a cero

Question

Estoy tratando de demostrar siguiente para espacios de Frechet($X$):

Mostrar que cualquier secuencia $(x_n) \subset X$ existe una secuencia $(\lambda_n)$ con $\lambda_n \neq 0$, $\lambda_n \downarrow 0$ tal que $\lambda_n x_n \to 0$$X$.

Pero yo realmente no sé cómo empezar. Creo que deben mostrar después de la $\exists N$ tal que para $n>N$ $\lambda _n x_n$ es un pequeño barrio, pero cómo hacer esto para cualquier secuencia de $X$. O tal vez hay una manera diferente.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La topología de una Frechet espacio está dada por un aumento de la secuencia de seminorms $\|\cdot\|_k$, y una secuencia converge a $0$ si y sólo si $\|y_n\|_k \to 0$ todos los $k\in \mathbb N$. Tome $\lambda_n= \left(1+ n \max\lbrace\|x_1\|_n,\ldots,\|x_n\|_n\rbrace\right)^{-1}$. Para $k\in\mathbb N$ $n\ge k $ usted entonces tiene $\|\lambda_n x_n\|_k \le \|\lambda_n x_n\|_n \le 1/n$.