Demostrar $\lim_{x\to 4}\sqrt{x^3}=8$

Question

$\lim_{x\to 4}\sqrt{x^3}=8$

Mi intento:

Dado $\epsilon>0$, elija $\delta=\min(1, \frac{\epsilon}{61})$

$|\sqrt{x^3}-8|=|\frac{(x-4)(x^2+4x+16)}{\sqrt{x^3}+8}|=|x-4||x^2+4x+16||\frac{1}{\sqrt{x^3}+8}|$

Si $|x-4|<1$ entonces $-5<x<5$

Así, $|x^2+4x+16|<61$

Y $|\frac{1}{\sqrt{x^3}+8}|<1$

Así, $|\sqrt{x^3}-8|<61|x-4|<61\delta=\epsilon$

Es esto válido?

Answer 1

La prueba es buena. Usted podría evitar algunos pasos por factorización $$ \sqrt{x^3}-8=(\sqrt{x}-2)(x+2\sqrt{x}+4) $$ y observar que, si $|x-4|<1$, a continuación, $|x+2\sqrt{x}+4|<5+2\sqrt{5}+4<15$ y solo necesitas llevar $|\sqrt{x}-2|<\frac{\varepsilon}{15}$; desde $$ |\sqrt{x}-2|=\left|\frac{x 4}{\sqrt{x} de {+2}\right|<|x-4| $$ cuando $x>3$, usted puede tomar $\delta=\min(1,\varepsilon/15)$.