los círculos de poder de punto de cruz proporciones

Question

Deje $w$ ser un círculo, y deje $P$ ser un punto fuera de la $w$. Deje $X, Y$ ser de las tangentes de$P$$w$. Una línea de $P$ intersecta $w$ en dos puntos de $B, D$. Deje $C$ ser el intesection de $\overline{XY}$$\overline{BC}$. Demostrar que $CD\cdot BP=BC \cdot DP$.

He intentado usar el poder de la otra vez, pero acaba de obtener un lío. Cruz ratios pueden ser calculadas para cuatro puntos colineales (y la relación se pide demostrar es que la cruz de relación (haciendo caso omiso de los signos) es$1$), pero no sé cómo usarlo.

Answer 1

Denotar $PX=PY=t$, $CD=a, BC=b, PD=c, CX=x, CY=y$.

Por el poder de punto de $C$ hemos \begin{equation} ab=xy. \end{equation}

Por el poder de punto de $P$ hemos

\begin{equation} t^2=c(a+b+c). \end{equation}

Finalmente, se aplican Stewart teorema del triángulo $PXY$ para el cevian $PC$. Obtenemos:

$PC^2\cdot XY+CX\cdot CY \cdot XY=PX^2\cdot CY+PY^2\cdot CX$ a partir de la cual

$(c+a)^2\cdot(x+y)+xy(x+y)=t^2(x+y)$ y después de dividir por $x+y$ se sigue que

\begin{equation} t^2=(c+a)^2+xy. \end{equation}

La combinación de las tres ecuaciones anteriores obtenemos $a(a+b+c)=bc$ que es la deseada igualdad.