Encontrar el número de ceros del polinomio $h(z)=z^{5} + 5z^{3} + 2z^{2} + 4z + 1$, en la mitad derecha del plano -.

Question

Pregunta: Encontrar el número de ceros del polinomio $h(z)=z^{5}+5z^{3}+2z^{2}+4z+1$, en la mitad derecha del plano -.

Comentarios: puede haber un número de maneras de llegar a una solución a este problema, pero sería muy instructivo para mí saber si alguien puede resolver usando el teorema de Rouché (o el principio del argumento, si eso resulta imposible). Mi idea es contar los ceros en un área limitada por el eje imaginario y la mitad de un círculo $C$ en la mitad derecha del plano-con centro en a $z=0$ y de radio $R$ donde $R$ es un número lo suficientemente grande para contener todos los ceros a la derecha de la mitad del plano. Para ello el uso de Rouché, tendría que ver si hay un $g(z)$ que tiene un valor absoluto mayor que $|f(z)-g(z)|$ sobre el límite (es decir, en el eje imaginario y en $C$). Estoy seguro sin embargo que $g(z)$ elegir.

Este es un problema de un antiguo complejo de análisis examen, es similar a este problema que he publicado anteriormente. Todas las entradas apreciado.

Answer 1

Elija $g(z) = z^5 + 1$. Los ceros de $g$$e^{k\pi i/5},\; k \in \{1,3,5,7,9\}$, dos de los cuales se encuentran en la mitad derecha del plano.

A continuación, un poco generalizada versión de Rouché del teorema dice que $h$ también tiene dos ceros en la mitad derecha del plano.

La formulación estándar de Rouché del teorema de demandas que $\lvert h-g\rvert < \lvert h\rvert$ (o $\lvert h-g\rvert < \lvert g\rvert$) en el límite $\partial V$ de la región, pero mirando en la prueba, cuya parte principal es la observación de que el número de ceros de $f_\lambda = g + \lambda(h-g)$$V$,

$$N_\lambda = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial V} \frac{g'(z) + \lambda\bigl(h'(z) - g'(z)\bigr)}{g(z) + \lambda\bigl(h(z) - g(z)\bigr)}\, dz$$

es independiente de $\lambda \in [0,\,1]$, ya que el no $f_\lambda$ tiene un cero en $\partial V$.

El papel de la condición de $\lvert h-g\rvert < \lvert g\rvert (\text{ or } \lvert h\rvert)$ $\partial V$ es únicamente para garantizar que $g + \lambda(h-g)$ también no tiene ceros en $\partial V$. Si podemos determinar que en una forma diferente, la conclusión se sostiene.

Para un gran semicírculo en la mitad derecha del plano, tenemos $\lvert 5z^3 + 2z^2 + 4z\rvert < \lvert z^5 + 1\rvert$ desde el lado derecho es un polinomio de mayor grado que el lado izquierdo.

En el eje imaginario, a pesar de $\lvert g-h\rvert > \lvert g\rvert$ en algunas de las partes, ampliando la muestra

$$g(it) + \lambda\bigl(h(it) - g(it)\bigr) = 1 + it^5 + \lambda(-5it^3 - 2t^2 + 4it) = (1-2\lambda t^2) + it(t^4 - 5\lambda t^2 + 4\lambda),$$

y la parte real se desvanece sólo para $\lambda = \dfrac{1}{2t^2}$ ( $t^2 \geqslant \frac12$ , ya que el $\lambda \leqslant 1$), cuando la parte imaginaria es

$$t\left(t^4 - \frac{5}{2} + \frac{2}{t^2}\right) = \frac1t\left(t^6 - \frac{5}{2}t^2 + 2\right),$$

y el polinomio $x^3 - \frac52x + 2$ no tiene raíces reales positivas, por lo que llegamos a la conclusión de $g(z) + \lambda(h(z)-g(z)) \neq 0$ en el eje imaginario.