Si $f$ es analítica en $|z|<1$ demostrar que $f(z^n)=f(0)+(g(z))^n$

Question

Si $f(z)$ es analítica en $|z|<1$ $f'(0)\not =0$ demostrar que existe una analítica de la función $g(z)$ tal que $f(z^n)=f(0)+(g(z))^n$ en el nbd. de origen.

Desde $f$ es analítica para la expansión en series de Taylor de $f$$z=0$$\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k$. También , $f(0)=a_0$. A continuación, $\displaystyle f(z^n)=f(0)+\sum_{k=1}^{\infty}a_kz^{nk}=f(0)+z^nh(z^n)$ donde $h$ es analítica. Pero a partir de aquí ¿cómo puedo puedo probar el resultado deseado ?

Answer 1

La función de $f$ puede ser escrita en la forma $$f(z)=f(0)+z h(z)$$ con $h$ analítica en un barrio de $0$, e $h(0)=f'(0)=:c\ne0$. Por lo tanto, la función de $h$ tiene una analítica $n$-ésima raíz cerca de $0$: $$h(z)=\bigl(p(z)\bigr)^n$$ para algunos la función $p$ que es analítica en un vecindario $U$$0$. Por lo tanto, se puede escribir $f(z)=f(0)+ z\bigl(p(z)\bigr)^n$, de las que obtenemos $$f(z^n)=f(0)+ z^n\bigl(p(z^n)\bigr)^n\qquad(z\in U)\ .$$ Esto demuestra que $$g(z):=z\>p(z^n)$$ satisface la demanda.