Determine si H es un subgrupo normal de G, ¿es más rápido que encontrar cosets?

Question

$G = S_4$,$H = \{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$.

Simplemente lo hice a lo largo, y encontré que H era normal. ¿Hay una mejor manera de encontrar cosets izquierdo y derecho? No quiero pasar este tipo de tiempo durante una prueba si vuelve a aparecer.

Answer 1

En el caso de $G = S_n$, dos elementos $g_1, g_2$ son conjugado (es decir, $g_1 = g g_2 g^{-1}$ algunos $g \in G$) si y sólo si tienen el mismo tipo de ciclo; es decir, están compuestos por el mismo número de ciclos de la misma longitud. En este caso, $(1)$ tipo de ciclo $(1,1,1,1)$, los otros tres elementos de la $H$ tienen un tipo de ciclo $(2,2)$, y no existen otros elementos de $G$ con cualquiera de esas ciclo de tipos. Así que cada conjugado de un elemento de $H$ debe ser en $H$ sí, que es equivalente a decir que el $H$ es normal.

Answer 2

Si usted conoce a un conjunto de generadores de G y un conjunto de generadores de H, entonces, siempre que G es finito, se puede comprobar que H es normal por la comprobación de que la conjugación de cada elemento de generación de H por cada elemento de generación de G a su vez le da un elemento que está de nuevo en H. Si G y H son infinitos, entonces usted necesita para asegurarse de que la respectiva generación de conjuntos son cerrados bajo de la inversión (es decir,$x \in S \implies x^{-1} \in S$). Si usted no sabe la generación de conjuntos de G o H, usted puede también utilizar todos de los elementos.

Por ejemplo, en tu ejemplo, hay un set de generación de energía de $S_4$ con sólo dos elementos (espero que sepan esto!). Sólo el uso que solo trae la cantidad de cálculos necesarios hacia abajo!

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Esto se desprende de un par de hechos:

1. Si un grupo finito y K es generado por $k_1$,...,$k_n$, entonces cualquier elemento de K se puede escribir como un producto de algunos de los $k_i$'s (se repite). Usted no necesita inversas, porque $x^{-1} = x^{o(x)-1}$, e $o(x)$ es finito.
2. Un subgrupo H es normal en G si $g^{-1}Hg = H$ todos los $ g \in G$.
3. $(g_1g_2)^{-1}h(g_1g_2) = g_2^{-1} (g_1^{-1}h g_1) g_2$, por lo que puede ampliar la conjugación de un producto a repetirse la conjugación.
4. $g^{-1}(h_1 h_2)g = g^{-1}h_1g \ast g^{-1}h_2g$, por lo que puede ampliar la conjugación de un producto para un producto de los conjugados.

Answer 3

Si$xhx^{-1} \in H$ para todos$h\in H$ y para todos$g\in G$, el subgrupo$H$ es normal.