Sí, es cierto que a0=b0 :
a0=b0=3−c0−√c30−2c20−3c0+72−c0
donde c0≈0.358678 es una raíz de c4−8c3+22c2−32c+9.
Vamos
f(a,b,c):=(1−a)(2+b+ab−b2−c2)(1−a)(3−c)+b=(1−a)(2+b+ab−b2−c2)3−c−3a+ac+b
A continuación,
∂f(a,b,c)∂a=g(a)(3−c−3a+ac+b)2
donde
g(a)=(−(2+b+ab−b2−c2)+(1−a)b)(3−c−3a+ac+b)−(1−a)(2+b+ab−b2−c2)(−3+c)=b((3−c)a2+2(−b+c−3)a+b2+c2−c+1)
Desde
3−c>0,g(0)=b(b2+c2−c+1)>0,g(1)=b(b(b−2)+c2−2)<0
tenemos que
a0=−(−b+c−3)−√P3−c
donde
P=b2c−2b2−2bc+6b+c3−3c2−2c+6
Ahora,
f(a,b,c)≤f(a0,b,c)=(1−a0)(2+b+a0b−b2−c2)3−c−3a0+a0c+b=−ba20+(−2+b2+c2)a0+2+b−b2−c23−c−a0(3−c)+b
Multiplicar por (3−c)2(3−c)2 da
f(a0,b,c)=(3−c)(−ba20(3−c)+(−2+b2+c2)a0(3−c)+(2+b−b2−c2)(3−c))(3−c)2(3−c−a0(3−c)+b)
Usando ese a20(3−c)=−2(−b+c−3)a0−b2−c2+c−1 da
(3−c)(−ba20(3−c)+(−2+b2+c2)a0(3−c)+(2+b−b2−c2)(3−c))=(3−c)(−b(−2(−b+c−3)a0−b2−c2+c−1)+(−2+b2+c2)a0(3−c))+(2+b−b2−c2)(3−c)2=(3−c)a0(−b2c+b2+2bc−6b−c3+3c2+2c−6)+(3−c)(b3+b2c−3b2+bc2−2bc+4b+c3−3c2−2c+6)=(b−c+3−√P)(−b2c+b2+2bc−6b−c3+3c2+2c−6)+(3−c)(b3+b2c−3b2+bc2−2bc+4b+c3−3c2−2c+6)=(P+b2)√P−2bP
Así,
f(a0,b,c)=(P+b2)√P−2bP(3−c)2√P=P+b2−2b√P(3−c)2=(√P−b3−c)2
Aquí, vamos a
g(b):=√P−b=√b2c−2b2−2bc+6b+c3−3c2−2c+6−b
A continuación,
g′(b)=bc−2b−c+3−√b2c−2b2−2bc+6b+c3−3c2−2c+6√b2c−2b2−2bc+6b+c3−3c2−2c+6
Desde bc−2b−c+3>0,
g′(b)≥0⟺bc−2b−c+3≥√b2c−2b2−2bc+6b+c3−3c2−2c+6⟺(bc−2b−c+3)2≥b2c−2b2−2bc+6b+c3−3c2−2c+6⟺(c−2)(c−3)b2−2(c−3)2b−(c−3)(c2−c+1)≥0⟺(2−c)b2+2(c−3)b+c2−c+1≥0
Aquí, tenga en cuenta que
0<b−<1<b+
donde
b±=3−c±√(c−3)2−(2−c)(c2−c+1)2−c
dando
f(a,b,c)≤f(a0,b,c)≤f(a0,b−,c)
Ahora, utilizando
(2−c)b−2+2(c−3)b−=−c2+c−1
da
Pb=b−=−(2−c)b−2−2(c−3)b−+c3−3c2−2c+6=c2−c+1+c3−3c2−2c+6=c3−2c2−3c+7
Así
f(a0,b−,c)=(√c3−2c2−3c+7−3−c−√c3−2c2−3c+72−c3−c)2=((2−c)√c3−2c2−3c+7−(3−c−√c3−2c2−3c+7)(2−c)(3−c))2=((3−c)(√c3−2c2−3c+7−1)(2−c)(3−c))2=(√c3−2c2−3c+7−12−c)2
Aquí, vamos a
h(c):=√c3−2c2−3c+7−12−c
A continuación,
h′(c)=3c2−4c−32√c3−2c2−3c+7(2−c)+√c3−2c2−3c+7−1(2−c)2=−c3+6c2−11c+8−2√c3−2c2−3c+72(2−c)2√c3−2c2−3c+7
Desde −c3+6c2−11c+8>0,
h′(c)≥0⟺−c3+6c2−11c+8≥2√c3−2c2−3c+7⟺(−c3+6c2−11c+8)2≥4(c3−2c2−3c+7)⟺(c−2)2(c4−8c3+22c2−32c+9)≥0⟺c4−8c3+22c2−32c+9≥0
Por lo tanto, c0≈0.358678 es la única raíz real en [0,1] de
c4−8c3+22c2−32c+9
y
a0=b0−c0+3−√c30−2c20−3c0+73−c0=3−c0−√c30−2c20−3c0+72−c0−c0+3−√c30−2c20−3c0+73−c0=3−c0−√c30−2c20−3c0+72−c0=b−=b0
de la siguiente manera.