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Maximizando

Deje0<ε<0.01, y considere los valoresa0,b0,c0 cona0[0,1ε] yb0,c0[0,1] que maximizan$$\frac{(1-a)(2+b+ab-b^2-c^2)}{(1-a)(3-c)+b}. ¿Es cierto quea0=b0?

He verificado esto por software paraε=0.001. La función se maximiza ena0=b00.153 yc00.359. Si permitimosa=1, entonces junto conb=0 la función es00. Y, obviamente, la función no es simétrica ena,b, por lo que no podemos aplicar un argumento de simetría.

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mathlove Puntos 57124

Sí, es cierto que a0=b0 :

a0=b0=3c0c302c203c0+72c0 donde c00.358678 es una raíz de c48c3+22c232c+9.


Vamos f(a,b,c):=(1a)(2+b+abb2c2)(1a)(3c)+b=(1a)(2+b+abb2c2)3c3a+ac+b A continuación, f(a,b,c)a=g(a)(3c3a+ac+b)2 donde g(a)=((2+b+abb2c2)+(1a)b)(3c3a+ac+b)(1a)(2+b+abb2c2)(3+c)=b((3c)a2+2(b+c3)a+b2+c2c+1) Desde 3c>0,g(0)=b(b2+c2c+1)>0,g(1)=b(b(b2)+c22)<0 tenemos que a0=(b+c3)P3c donde P=b2c2b22bc+6b+c33c22c+6 Ahora, f(a,b,c)f(a0,b,c)=(1a0)(2+b+a0bb2c2)3c3a0+a0c+b=ba20+(2+b2+c2)a0+2+bb2c23ca0(3c)+b Multiplicar por (3c)2(3c)2 da f(a0,b,c)=(3c)(ba20(3c)+(2+b2+c2)a0(3c)+(2+bb2c2)(3c))(3c)2(3ca0(3c)+b) Usando ese a20(3c)=2(b+c3)a0b2c2+c1 da (3c)(ba20(3c)+(2+b2+c2)a0(3c)+(2+bb2c2)(3c))=(3c)(b(2(b+c3)a0b2c2+c1)+(2+b2+c2)a0(3c))+(2+bb2c2)(3c)2=(3c)a0(b2c+b2+2bc6bc3+3c2+2c6)+(3c)(b3+b2c3b2+bc22bc+4b+c33c22c+6)=(bc+3P)(b2c+b2+2bc6bc3+3c2+2c6)+(3c)(b3+b2c3b2+bc22bc+4b+c33c22c+6)=(P+b2)P2bP Así, f(a0,b,c)=(P+b2)P2bP(3c)2P=P+b22bP(3c)2=(Pb3c)2 Aquí, vamos a g(b):=Pb=b2c2b22bc+6b+c33c22c+6b A continuación, g(b)=bc2bc+3b2c2b22bc+6b+c33c22c+6b2c2b22bc+6b+c33c22c+6 Desde bc2bc+3>0, g(b)0bc2bc+3b2c2b22bc+6b+c33c22c+6(bc2bc+3)2b2c2b22bc+6b+c33c22c+6(c2)(c3)b22(c3)2b(c3)(c2c+1)0(2c)b2+2(c3)b+c2c+10

Aquí, tenga en cuenta que 0<b<1<b+ donde b±=3c±(c3)2(2c)(c2c+1)2c dando f(a,b,c)f(a0,b,c)f(a0,b,c)

Ahora, utilizando (2c)b2+2(c3)b=c2+c1 da Pb=b=(2c)b22(c3)b+c33c22c+6=c2c+1+c33c22c+6=c32c23c+7 Así f(a0,b,c)=(c32c23c+73cc32c23c+72c3c)2=((2c)c32c23c+7(3cc32c23c+7)(2c)(3c))2=((3c)(c32c23c+71)(2c)(3c))2=(c32c23c+712c)2 Aquí, vamos a h(c):=c32c23c+712c A continuación, h(c)=3c24c32c32c23c+7(2c)+c32c23c+71(2c)2=c3+6c211c+82c32c23c+72(2c)2c32c23c+7 Desde c3+6c211c+8>0, h(c)0c3+6c211c+82c32c23c+7(c3+6c211c+8)24(c32c23c+7)(c2)2(c48c3+22c232c+9)0c48c3+22c232c+90

Por lo tanto, c00.358678 es la única raíz real en [0,1] de c48c3+22c232c+9 y a0=b0c0+3c302c203c0+73c0=3c0c302c203c0+72c0c0+3c302c203c0+73c0=3c0c302c203c0+72c0=b=b0 de la siguiente manera.

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