Euclides de la teoría de Ramsey problema

Question

Deje que$k\geq 1$ sea dado. Considere la siguiente declaración:

Para todos los triángulos (no equiláteros) (representados por 3 puntos en$\mathbb R^2$) y para todos los$k$ - colorantes de$\mathbb R^2$ existe una imagen congruente monocromática de este triángulo.

Creo que para$k=2$ se cree que esto es cierto, pero ¿qué pasa con$k\geq 3$? ¿Está mal si permito más de$2$ colores?

Answer 1

No es cierto para $k \geq 3$. El Color en el avión, con franjas horizontales de altura de la unidad y la alternancia de tres colores (por ejemplo, rojo azul verde). Ahora mira isósceles triángulo rectángulo con la longitud de las piernas $1.99$.

Supongamos que hay un congruentes monocromática triángulo, decir rojo. Ya que todas las demás tiras rojas están a una distancia de al menos $2$ lejos de la tira que contiene el derecho de ángulo de vértice, y los otros vértices son sólo $1.99$ lejos de la derecha en ángulo de vértice, todos los vértices del triángulo debe estar en la misma tira. Por lo tanto el triángulo completo se encuentra en la misma tira, y lo hace su circunferencia inscrita. Pero el diámetro de la circunferencia inscrita del triángulo es de más de $1.165$, y específicamente más de $1$, la altura de la tira, una contradicción.