Estructura anular de la teoría K de una cuña de esferas.

Question

He estado usando Bott Periodicidad para calcular la K-teoría de algunos espacios simples esferas, toro, y la cuña de las esferas. La cuña de las esferas es muy interesante.

Dado que el $$\tilde{K}(X \vee Y) = \tilde{K}(X) \oplus \tilde{K}(Y)$$ tenemos que $$\tilde{K}(S^n \vee S^m) = \begin{cases} \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} & m,n \text{ even} \\ \mathbb{Z} & \text{one of } m,n \text{ even}, \\ 0 &m,n \text{ odd.}\end{cases}$$

La estructura de anillo es trivial en todos los casos.

El cambio a que no fue reducida K-teoría, hemos $$K(S^n \vee S^m) = \begin{cases} \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} & m,n \text{ even} \\ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} & \text{one of } m,n \text{ even}, \\ \mathbb{Z} &m,n \text{ odd.}\end{cases}$$

Si ambos son impares, o uno es impar, puedo ver lo que la estructura de anillo. Me pregunto qué es cuando ambos estaban aún. $K(S^{2n})$ tiene estructura de anillo de $\mathbb{Z}[H]/(H-1)^2$ $\tilde{K}(S^{2n})$ es generado por $(H-1)$, y ha trivial de la multiplicación.

De forma análoga, supongo que la estructura de anillo en la cuña es algo así como $$\frac{\mathbb{Z}[H,H']}{((H-1)^2,(H'-1)^2)},$$ where $H,H'$ generate $\tilde{K}(S^n),\tilde{K}(S^m)$, pero supongo que no estoy muy segura!

(Estoy marcado anillo de la teoría, ya que es probablemente un resultado estándar en álgebra, pero como de costumbre, siéntase libre de re-tag)

Answer 1

No es completamente hecho general: $K(X\vee Y)=K(X)\oplus_{K(pt)}K(Y)$. Esto significa que $K(X\vee Y)=\tilde K(X)\oplus K(pt)\oplus\tilde K(Y)$ y la multiplicación

1. entre los dos primeros sumandos es la misma como la en $K(X)$,
2. entre los dos últimos sumandos es la misma como la en $K(Y)$,
3. entre el $\tilde K(X)$ $\tilde K(Y)$ es trivial.

Y esto es cierto para cualquier cohomology de la teoría.

En particular, $K^\bullet(S^n\vee S^m)=H^{\bullet}(S^n\vee S^m)\otimes K^{\bullet}(pt)$ (y uno puede elegir uno de los favoritos de los generadores y relaciones).

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Ahora, la respuesta del último párrafo de la OP. En primer lugar, $\frac{\mathbb{Z}[H,H']}{((H-1)^2,(H'-1)^2)}$ puede no ser del todo correcto, ya que de forma aditiva es $\mathbb Z^4$ (y no $\mathbb Z^3$) - lo que falta, es la relación (3): la respuesta correcta es $\frac{\mathbb{Z}[H,H']}{((H-1)^2,(H'-1)^2,(H-1)(H'-1))}$