Transformada de Fourier para la función de suma de divisores

Question

He encontrado lo que parece ser una transformada de Fourier de la fórmula para la suma de los divisores de la función. $$\sigma(x)=\sum_{d|x}d$$ El "truco" es que requiere de un límite. No sé si esto es importante o no, pero algo no parece estar del todo bien. Aquí es. $$\sigma(x)=\frac{c(x^2+x)+\sum_{b=1}^xf(b)}{2c+1}$$ $$f(b)=\lim\limits_{m\to\infty}b\left(1-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^m\frac{r}{n}\right)$$ $$r=\sin\left(2\pi n\frac{x}{b}\right)+\sin\left(2\pi n\left(1+\frac{1}{2m+2}\right)\right)-\sin\left(2\pi n\left(\frac{x}{b}+\frac{1}{2m+2}\right)\right)$$ $$c=\lim\limits_{m\to\infty}\left(\frac{1}{2m+2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^m\frac{\sin\left(2\pi n\left(1+\frac{1}{2m+2}\right)\right)}{n}\right)\approx 0.089489$$ Por favor, disculpe que no me proporcionan una prueba. Pero a partir de aquí podría alguien ayudar por dar algunos consejos para simplificar o mejorar en el presente o quizás proporcionar otra dirección que podría tomar con esto?

Edit: yo era capaz de simplificar esto $$\sigma(x)=\lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{2c+1}\left(\frac{x^2+x}{2m+2}+\frac{2}{\pi}\sum_{b=1}^x\sum_{n=1}^\infty\frac{bt}{n}\right)$$ where $$t=\sin\left(2\pi n\left(\frac{x}{b}+\frac{1}{2m+2}\right)\right)-\sin\left(2\pi n\frac{x}{b}\right)$$ After eliminating some of the $m$s by taking the limit this can be further simplified to $$\sigma(x)=\lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{k}\sum_{b=1}^x\sum_{n=1}^\infty\frac{bt}{n}$$ where $$k=\lim\limits_{m\to\infty}\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin\left(2\pi n\left(1+\frac{1}{2m+2}\right)\right)}{n}\approx 1.8519367$$ Aunque esto converge más lento.

Answer 1

Calculando la suma de los divisores de la función $\sigma_1(n)$ es al menos tan difícil como la determinación de si o no $n$ es primo, ya que $n$ es el primer fib $\sigma_1(n) = n + 1$. Computación con cualquier fantasía fórmula de anotar para ello, por tanto, termina haciendo al menos tanto trabajo como la ejecución de una prueba de primalidad, y normalmente es una mala (por ejemplo, la división de juicios).

Edit: También, si $n = pq$ es un producto de dos números primos, entonces computing $\sigma_1(n) = pq + p + q + 1$ es exactamente tan duro como el cómputo de la totient $\varphi(n) = (p - 1)(q - 1) = pq - p - q + 1$. Esto es equivalente a resolver el problema RSA, que se cree que será difícil (de la misma manera que el factoring en general se cree que será difícil), y esta creencia es la base de la suposición de que RSA es seguro.