¿Cómo se pueden combinar el impulso y la posición en un espacio de fases cuando tienen unidades diferentes?

Question

Elaboración de la pregunta: ¿Cuál es la interpretación geométrica de las unidades? Es decir, una unidad de longitud es una elección de escala de los sistemas de coordenadas, es decir, es una elección de difeomorfismo, pero ¿qué pasa con todas las demás unidades? Si tomamos un enfoque geométrico entonces no hay unidades, porque las masas de las partículas fundamentales están relacionadas con el Casimir del grupo de Lorentz. En resumen,

1. ¿Son las unidades una cantidad geométrica?

2. ¿Puede una variedad tener diferentes unidades en diferentes dimensiones?

EDICIÓN: Una explicación más clara de la afirmación 'una unidad de longitud es una elección de difeomorfismo' se puede encontrar en la publicación del blog de Terrence Tao sobre teoría de calibre, donde considera las unidades como un ejemplo básico de una teoría de calibre.

Answer 1

Las unidades no son una cantidad o propiedad geométrica. Las unidades indican que una cierta cantidad es medida por una operación dada. La unidad en sí suele ser definida por una instancia referencial de tal medición. Un ejemplo canónico es el prototipo internacional del kilogramo, un cilindro de platino-iridio almacenado en París cuya medición de masa proporciona la unidad SI de referencia. Recomiendo echar un vistazo a la lista de definiciones de unidades SI para tener una idea más concreta de esto.

Una variedad (un "espacio") es cualquier cosa que pueda ser, al menos localmente, mapeada a un parche de $\mathbb{R}^n$ donde $n$ es una dimensión del espacio. Una forma en la que realizamos ese mapeo es eligiendo unidades (instancias referenciales) $x_0,p_0$ y comparando la magnitud de nuestro fenómeno $x, p$ para obtener magnitudes relativas $\xi,\pi$, que son números. El procedimiento por el cual llegamos a los números $\xi,\pi$ está definido estrictamente de forma operacional, pero una vez que lo hemos hecho, escribimos el resultado de la medición como $x= \xi x_0, p = \pi p_0$. En este sentido, $x,p$ sí forman un espacio que está mapeado, pero ciertamente nunca completamente capturado por grupos de números.

Sin embargo, sabemos que nuestras unidades convencionales no son de importancia fundamental. Entonces, si hacemos una transformación de coordenadas en el espacio $\xi,\pi$ en algo como $\tilde{R} = \xi^2 + \pi^2,\, \tilde{\varphi} = \arctan(\xi/\pi)$, es muy poco probable que tal definición dependiente de la unidad sea útil para algo. Por otro lado, si existe una escala significativa que rige el problema que permite que las dos cantidades tengan las mismas unidades, a menudo puede resultar muy útil.

Considera una masa puntual $m$ con momento $p$ en la posición $x$ lejos del equilibrio en un resorte con rigidez $k$. La rigidez tiene las dimensiones de masa sobre el cuadrado del tiempo y puede ser utilizada junto con $m$ para hacer comparables las coordenadas del espacio de fases. Entonces resulta útil transformar a las coordenadas en el espacio de fases $\varepsilon, \varphi$ definidas como $$\varepsilon E_0 = \frac{p^2}{2 m} + \frac{k x^2}{2}$$ $$\varphi = \arctan\left( \frac{x}{p} \sqrt{\frac{m}{k}}\right)$$ donde $E_0$ es una unidad de energía referencial. Entonces descubres que en estas coordenadas las ecuaciones de movimiento resultan ser $\dot{\varepsilon} = 0, \, \dot{\varphi} = \sqrt{k/m}$. Este es uno de los momentos canónicos donde queda claro que el concepto de espacio-fase es muy útil.

Answer 2

Sí, pensé algo similar a Javier... ¿cómo podemos usar un plano complejo si no podemos realmente sumar números imaginarios y números reales ya que tienen "unidades" diferentes?

La razón para usar un plano de 2 dimensiones para representar 2 mediciones de unidades diferentes, o un espacio de 3 dimensiones para representar 3 mediciones de unidades diferentes, es precisamente el hecho de que SON unidades diferentes. No hay forma de sumar vectores de forma escalar que tengan sus componentes en dimensiones completamente diferentes; es decir, si la posición está en el eje X, por ejemplo, y el momento está en el eje Y, la "magnitud" (más como medida) de la posición no tiene componente a lo largo de la dimensión en la que se representa el momento, y el momento no tiene componente a lo largo de la dirección en la que se representa la posición, ya que los 2 vectores se dibujan en 2 dimensiones diferentes, en ángulos rectos entre sí.

¿Tendría sentido representar tanto la magnitud como la posición en la MISMA LÍNEA NUMÉRICA?!?!?! ¡NO! Porque en ese caso, podríamos sumar esos 2 vectores y obtener uno más grande que representaría... ¿qué? Nada, en realidad, ya que como dijiste, los vectores tienen unidades diferentes.

La única forma de sumar estos vectores sería hacer que el vector X (posición) y el vector Y (momento) sean cada uno una componente de un vector más grande. Tenga en cuenta que en este caso, la magnitud de este vector más grande, $sqrt(x^2+y^2)$, no tiene sentido, ya que como dijiste, el momento y la velocidad tienen unidades diferentes.

Sin embargo, SÍ hay una buena razón para usar este espacio 2D para representar 2 cualidades diferentes de un sistema.

Supongamos que tenemos este espacio de fases 2D, y tenemos 2 vectores, cada uno con una componente X (posición) y con una componente Y (momento). Luego queremos que se mueva sin cambiar el momento. Entonces simplemente podemos sumar a X para obtener una posición mayor, pero mantener Y igual, para mantener el mismo momento.

Si el vector de momento tuviera una componente en la dirección de la posición, es decir, no a 90 grados del vector de posición, cambiar la posición gráficamente cambiaría automáticamente el momento. Pero al hacer que cada una de las cualidades diferentes (no las mismas unidades) de un sistema se representen en diferentes dimensiones, todas a 90 grados entre sí, podemos variar cualquiera de las cantidades que queramos (posición, momento, temperatura, incluso podríamos tener el eje Z representando qué tan feliz está el sistema) podemos variar cualquiera de ellas que queramos sin preocuparnos de que cambie la magnitud de las otras. Es decir, al movernos a lo largo del eje X, no cambiamos la cantidad en ninguno de los otros ejes, pero si las diferentes cualidades NO se representaran todas en diferentes dimensiones, entonces moverse a lo largo del eje X causaría que una de las otras cualidades cambiara, y por lo tanto no podríamos representar todos los posibles estados del sistema.

(Voy a editar mi respuesta más tarde para que sea más clara y con diagramas, ¡estoy en un apuro ahora mismo, lo siento!) ¡Espero que haya sido útil!