Unidad (última cifra) del número $7^{7^{7}}$

Question

En una conversación en facebook, mi profesor de teoría dijo que allí saben manejar (el último dígito) del número $$7^{7^{7}}$$ ¿Cuál sería el método? Porque tengo la menor idea .. Oh, todavía no tengo conocimiento de la aritmética modular ... Preferiblemente no utilizar este método para que yo pueda entender. $$7^{49}$$

Answer 1

Esto será bastante difícil de hacer sin aritmética modular, pero tal vez pueda hacerlo de una manera que usted pueda entender fácilmente.

$7$ es un número realmente claro en el que el último dígito de las potencias de $7$ seguir un patrón. Calculemos las primeras potencias:

$7^{0} = 1$

$7^{1} = 7$

$7^{2} = 49$

$7^{3} = 343$

$7^{4} = 2401$

$7^{5} = 16807$

Si seguimos así, encontraremos rápidamente que el último dígito de las potencias de $7$ repite en el patrón $[1, 7, 9, 3],[1, 7, 9, 3],\ldots$ . En otras palabras, lo único que necesitamos saber para encontrar el último dígito de una potencia de $7$ es la distancia de un múltiplo de $4$ el exponente es. Esta noción de "distancia de $4$ " se determina con precisión utilizando la aritmética modular, y es difícil responder a tu pregunta sin ella, pero haré lo posible por mantener las cosas claras.

En aritmética modular, decimos que dos enteros $a$ et $b$ son ${\bf congruent}$ modulo $n$ si su diferencia es divisible por $n$ - es decir, si $a-b = k\cdot n$ para algún número entero $k$ . Modular nos da una forma fácil de cuantificar si lo "cerca" que está un número en los enteros de ser divisible por otro número - es decir, tomando un número entero mod $n$ nos da el resto cuando dividimos por $n$ .

Sabemos que nuestro último dígito se repite cada $4$ números. Así que si podemos determinar cuál es el resto cuando dividimos $7^7$ por $4$ hemos terminado. En este caso, tenemos que utilizar un truco inteligente. Ten en cuenta que $7$ es congruente con $-1$ modulo $4$ . Lo señalamos porque $7-(-1) = 8 = 2 \cdot 4$ . Resulta que cuando nos preocupamos por los restos, podemos trabajar con dos enteros que son congruentes igualmente. Es decir, mod $4$ , $7^7 = (-1)^7 = -1$ . Además, tenemos que $3$ es congruente con $-1$ mod 4, como $3 - (-1) = 4 = 4 \cdot 1$ . Por lo tanto, $7^{(7^7)}$ tiene el mismo último dígito que $7^3$ . Así, el último dígito es $3$ .

Answer 2

Dejemos que $a_n$ sea el último dígito de $7^n$ . Entonces tenemos $a_{4n}=1$ , $a_{4n+1}=7$ , $a_{4n+2}=9$ y $a_{4n+3}=3$ .

Así, para determinar el último dígito de $7^{7^7}$ necesitamos determinar el resto de $7^7$ al dividir por $4$ ?

Dejemos que $b_n$ sea el resto de $7^n$ al dividir por $4$ . Entonces tenemos $b_{2n}=1$ et $b_{2n+1}=3$ . De ello se desprende que $b_7=3$ para que $a_{7^7}=3$ .

Answer 3

$7\equiv7,7^2=49,7^3=343, 7^4=(49)^2=(50-1)^2=2401\equiv1\pmod{100}$

$$7^7=(8-1)^7\equiv-1\pmod 8\equiv-1\pmod 4\equiv3=4a+3\text{ (say)}$$

Ahora, $7^{7^7}=7^{4a+3}=(7^4)^a\cdot7^3\equiv 1^a\cdot343\pmod{100}\equiv43\pmod{100}\equiv3\pmod{10}$

Como en general $a^{m^n}\ne a^{mn}\implies 7^{7^7}\ne 7^{49}$ como $7^7\ne49$

et $7^{49}=(7^4)^{12}\cdot7\equiv1\cdot7\pmod{100}$