Mostrando continuidad uniforme

Question

He estado tratando de mostrar que una función $f$ sobre el verdadero intervalo de $[a,b]$ que satisface

$$ f(x)=f(a)+\int_a^xf'(s)\,ds\qquad\text{($f'$ define casi en todas partes)} $$

debe ser uniformemente continua en a $[a,b]$.

Puesto que la condición anterior es equivalente a la continuidad absoluta sé que yo podría mostrar lo que necesitan por medio de la prueba de que la continuidad absoluta - a partir de su definición fundamental - implica la continuidad uniforme: he visto una prueba de que. Sin embargo, me gustaría mostrar el anterior sin la participación de otra forma de continuidad en el proceso.

Sé que ya lo he dicho también es equivalente a que exista cualquier función integrable en lugar de $f'$ -la prueba no debe afectar a las propiedades de la derivada. Sin embargo, en el establecimiento de un salto llego tan lejos como

$$ \left|f(y)-f(x)\right|=\left|\int_x^yf'(s)ds\right|\leq\int_x^y\left|f'(s)\right|\,ds $$

Es posible demostrar que un integrable primera derivada (o de hecho cualquier función integrable) es acotada en sup norma?

Gracias.
Marko

Answer 1

Suponemos que $\|f'\|_{L^1} = \int_{a}^{b} |f'|\,dt \lt \infty$. Deje $A_{n} = \{x \,:\,|f'(x)| \leq n\}$. Poner $g_{n} = [A_{n}] f'$ donde $[A_n]$ denota la función característica de a $A_n$. Luego tenemos a $g_{n} \to f'$ en casi todas partes, y, como Nate señala en su comentario, dominado por la convergencia implica que $\int_{a}^{b} |g_n - f'|\,dt \to 0$ $n \to \infty$ (el integrando es limitada por la función integrable $2|f'|$).

Ahora bien, dado $\varepsilon \gt 0$, elija $n$ tan grande que $\int_{a}^{b} |g_n - f'|\,dt \lt \varepsilon /2$. Como $|g_{n}|$ está delimitado por $n$,$|\int_{x}^{y} g_{n}(t)\,dt| \leq n|y-x|$. Por lo tanto, $$\left\vert \int_{x}^{y} f'(t)\,dt\right\vert \leq \left\vert\int_{x}^{y} |f'-g_n|\,dt\right\vert + \left\vert \int_{y}^{x} |g_n(t)|\,dt\right\vert \leq \varepsilon/2 + n \cdot |y-x|$$ y para $\delta = \frac{\varepsilon}{2n}$ tenemos para todos los $x,y$ $|y-x| \lt \delta$ que $$|f(y) - f(x)| = \left\vert \int_{x}^{y} f'(t)\,dt \right\vert \leq \varepsilon/2 + \delta n \lt \varepsilon$$ que es la definición misma de la continuidad uniforme de $f$.

De hecho, tenemos la aún más general que la estimación de $\mu(E) \lt \delta$ tenemos $\int_{E} |f'|\,dt \lt \varepsilon$. Pero que es exactamente la continuidad absoluta de $f$.

Es, por supuesto, no es cierto que un integrable primera derivada es limitada en el sup-norma. Por ejemplo, para $f(x) = \sqrt{x}$ tenemos $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ que no está delimitada pero integrable en $[0,1]$.

Answer 2

Como usted ha mencionado, $f$ es absolutamente continua, y mostrando que esto no es en realidad más difícil de mostrar uniforme continuidad directamente.

Si $g$ es integrable y $\varepsilon>0$ es dado, no es un $\delta>0$ tal que $m(A)<\delta$ implica $\int_A|g|<\varepsilon$. Para ver esto, por ejemplo, podría tomar primero $h$ delimitada por $M>0$ tal que $\int_a^b|g-h|<\frac{\varepsilon}{2}$, y, a continuación, tome $\delta = \frac{\varepsilon}{2M}$.

Una vez que tenemos esto, usted tiene $|\int_x^y g|<\varepsilon$ siempre $|x-y|<\delta$. Y como se mencionó, esto se extiende a mostrar la continuidad absoluta. Acotamiento de $f'$ implicaría el más fuerte de la condición de Lipschitz de continuidad.