Si dos espacios normados son equivalentes a Lipschitz, entonces uno si está completo si el otro es

Question

Probar que si dos normativa de espacios de Lipschitz equivalente, a continuación, uno por completo si el otro es.

Mis pensamientos:

Deje $ (V_1, \Vert\cdot\Vert_1) $ $ (V_2, \Vert\cdot\Vert_2) $ ser Lipschitz equivalente normativa espacios vectoriales. Entonces existe $f : V_1 \to V_2 $, y las constantes de $h, k > 0 $, de tal manera que $ h\Vert f(x) - f(y)\Vert_2 \leq \Vert x-y\Vert_1 \leq k\Vert f(x) - f(y)\Vert_2 $ todos los $ x,y, \in V_1 $. Supongamos $(V_2, \Vert\cdot\Vert_2) $ es completa.

Claramente todo es simétrico, por lo que sólo necesita realmente para probar esto en una sola dirección. Puedo ver que si $ (x_n) $ es una secuencia de Cauchy en $V_1$, $(f(x_n))$ es de Cauchy en $ V_2 $. También puedo ver que $ f $ es uniformemente continua. ¿Cómo puedo convertir esto en una prueba?

Gracias

Answer 1

Si puede ver que tener$x_n$ Cauchy en$V_1$ implica que$f(x_n)$ es Cauchy en$V_2$, entonces ya casi está. La integridad de$V_2$ da que$f(x_n)$ converge a algunos$y \in V_2$. Ahora sus condiciones en$f$ garantizan que$f$ tiene un inverso continuo (de hecho, Lipschitz)$f^{-1} : V_2 \to V_1$ (verifíquelo), así que tenemos$x_n = f^{-1}(f(x_n)) \to f^{-1}(y)$ y por lo tanto$x_n$ converge