Demuestre que un número entero de la forma 89, 889, 8889,... no es un cuadrado perfecto.
Sé que un cuadrado perfecto tendrá un número impar de divisores así que mi primer intento sería asumir que un entero de la forma 89, 889, 8889,... es un cuadrado perfecto y luego demostrar que 89, 889, 8889,... tienen todos un número par de divisores. No sé cómo empezar a demostrar que 89, 889, 8889,... tienen un número par de divisores. Cualquier pista o sugerencia será muy apreciada.
Gracias.
Supongamos que $8\cdot10^n+1=x^2$ para algunos $n$ .
Entonces $(x+1)(x-1)=2^{n+3}5^n$
Tenga en cuenta que para todos los $n\geq3$ tenemos $5^n>2^{n+3}$ +2.
Dado que sólo uno de los $x+1,x-1$ puede ser un múltiplo de $5$ , $5^n$ debe dividir uno de ellos y tenemos $x+1\geq5^n$ , $x-1\leq2^{n+3}$ o $x-1\geq5^n$ , $x+1\leq2^{n+3}$ que son imposibles para $n\geq 3$ .
Así que sólo tenemos que comprobar $n=1,2$ y $81=9^2$ mientras que $801$ no es un cuadrado.
Sin embargo, $81<89$ por lo que no corresponde a uno de los números de la lista. Así que ningún número de la lista es un cuadrado.
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Esto podría ayudar: $x$ es un cuadrado si y sólo si $9x$ es un cuadrado, ¿verdad? También, $888,\!889\times9=8,\!000,\!001$ .
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En general, el $n$ El segundo número de la secuencia puede expresarse de la forma $$ 8\frac{10^{n+1} - 1}{9} + 1 = \frac 19 \left(8 \cdot 10^{n+1} + 1 \right) $$