Encontrar el valor de un desconocido a partir de una suma de un exponencial

Question

Encuentre el valor de$c$ tal que$$\sum_{n=0}^\infty e^{nc}=16$ $

No tengo mucha confianza en la dirección a seguir, pero hasta ahora, he dejado$$a(n)=e^{nc}$ $ luego calculé$\dfrac{a(n+1)}{a(n)}$, para lo cual obtuve$e^c$. Traté de encontrar el radio de convergencia al resolver$-1<e^c<1$, pero al resolver la primera desigualdad, recibí un número imaginario$(i\pi)$ ...

Aprecio cualquier ayuda. Muchas gracias

Answer 1

Bueno, si$c$ tiene que ser real, entonces siempre es el caso que$e^c>0$, así que solo tienes que verificar en qué$c\in\mathbb R$ tienes$e^c<1$. La respuesta es $c<0$.

En cualquier caso, si desea$c$ tal que$$\sum_{n=0}^\infty e^{nc}=\sum_{n=0}^\infty (e^c)^n=16,$ $ piense que la suma mencionada es igual a$$\frac1{1-e^c},$ $, entonces necesita$$\frac1{1-e^c}=16\quad \iff\quad 1=16-16e^c\quad \iff\quad 16e^c=15$ $ que es equivalente a$$c=\ln\left(\frac{15}{16}\right).$ PS

Answer 2

$$\sum_{n=0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$ $ si$\vert r \vert < 1$. Deje$r = e^c$, así que$$\frac{1}{1 - e^c} = 16$ $ lo que da$$c = \ln \frac{15}{16} $ $

Answer 3

No tiene que preocuparse por el lado negativo porque$e^c$ es un número positivo.

Todo lo que tiene que encontrar es la solución a$e^c <1$ que se puede hacer mediante logaritmos.