Sé que la orden$x$ debe ser relativamente primordial para$14$ para tener una solución, así que simplemente reviso$1,3,5,9,11,13$ y veo cuáles de las que se plantean son congruentes con$1$ mod$14$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta respuesta utiliza los resultados mencionados en los comentarios de arriba (específicamente @RobertIsrael)
Estás en lo correcto que usted necesita considerar sólo a las bases que son relativamente primos a $14$. En otras palabras, sólo se deben considerar las clases de $$ 1,3,5,9,11,13. $$ Siguiente, debemos calcular las órdenes de cada uno de estos. El uso de $o(n)$ para el orden de $n$ modulo $14$, tenemos \begin{align*} o(1)&=1&o(3)&=6\\ o(5)&=6&o(9)&=3\\ o(11)&=3&o(13)&=2. \end{align*}
Ahora, lo que resuelve $x^x\equiv 1\pmod {14}$. Vamos a considerar cada caso:
Si $x$ es equivalente a $1\pmod{14}$, entonces, puesto que el orden de $1$$1$, cualquier poder que se va a hacer, así $\{1+14n:n\in\mathbb{Z}\}$ todas satisfacer $x^x\equiv 1\pmod{14}$.
Si $x$ es equivalente a $3\pmod{14}$, entonces, puesto que el orden de $3$$6$, para obtener el $1$, tiene el poder para ser un múltiplo de $6$. En otras palabras, $x=3+14n$ $3+14n$ es un múltiplo de a $6$. Esto es imposible, porque la $6$ $14$ son incluso mientras $3$ es impar.
Si $x$ es equivalente a $5\pmod{14}$, entonces, puesto que el orden de $5$$6$, para obtener el $1$, tiene el poder para ser un múltiplo de $6$. En otras palabras, $x=5+14n$ $5+14n$ es un múltiplo de a $6$. Esto es imposible, porque la $6$ $14$ son incluso mientras $5$ es impar.
Si $x$ es equivalente a $9\pmod{14}$, entonces, puesto que el orden de $9$$3$, para obtener el $1$, tiene el poder para ser un múltiplo de $3$. En otras palabras, $x=9+14n$ $9+14n$ es un múltiplo de a $3$ desde $9$ ya es un múltiplo de a $3$. Esto sólo sucede cuando se $n$ es un múltiplo de a $3$, lo $\{9+14\cdot 3n:n\in\mathbb{Z}\}$ son las únicas $x$'s equivalente a $9$ que satisfacen la condición.
Si $x$ es equivalente a $11\pmod{14}$, entonces, puesto que el orden de $11$$3$, para obtener el $1$, tiene el poder para ser un múltiplo de $3$. En otras palabras, $x=11+14n$ $11+14n$ es un múltiplo de a $3$. Esto sólo sucede cuando se $n$ es equivalente a $2\pmod 3$ porque $11$ $14$ son equivalentes a $-1\pmod3$. Por eso, $\{11+14\cdot (2+3n):n\in\mathbb{Z}\}$ son las únicas $x$'s equivalente a $11$ que satisfacen la condición.
Por último, si $x$ es equivalente a $13\pmod{14}$, ya que la orden de $13$$2$, para obtener el $1$, tiene el poder para ser un múltiplo de $2$. En otras palabras, $x=13+14n$ $13+14n$ es un múltiplo de a $2$. Esto es imposible, porque la $2$ $14$ son incluso mientras $13$ es impar.
