Mostrando la existencia de un polinomio irreducible de grado 3 en$\mathbb{F}_p$

Question

Soy tratando de mostrar que para cada p$ \in \mathbb{N}$ donde p es primo, no es un polinomio irreducible de grado 3 en $\mathbb{F}_p$. He encontrado demasiado general respuestas para esa pregunta, pero quiero mostrar de la manera mas sencilla.

Sé que hacerlo para el polinomio de grado 2: la función de $x\mapsto x^2$ no es surjective, por lo tanto no es $a\in \mathbb{F}_p$ con $\forall b \in \mathbb{F}_p $ $b^2 - a \neq 0$ , lo que significa que $x^2-a$ no tiene raíces.

Pero no puedo hacer la reducción a mi problema.

Gracias.

Answer 1

Deje $a_1$ e $a_2$ ser distintos elementos en $\mathbb{F}_p$. La próxima vamos a $c \in \mathbb{F}_p$ ser tal que $a^3_1-a^3_2 = c(a_1 - a_2)$, existe una $c$ como $a_1 \not = a_2$. A continuación, la asignación de $f: x \mapsto x^3- cx$; $x \in \mathbb{F}_p$ no es surjective asignación de $\mathbb{F}_p$ a $\mathbb{F}_p$, ya que existen dos distintas $a_1,a_2 \in \mathbb{F}_p$ satisfacción $f(a_1)=f(a_2)$. Así que para este particular, $c$, existe un $A \in \mathbb{F}_p$ tal que no es $x \in \mathbb{F}_p$ que satisface $x^3-cx = A$. Por lo tanto el polinomio $x^3-cx-A$ es irreducible en a$\mathbb{F}_p$.

Answer 2

Por algo en el mismo espíritu, como el ejemplo de $2$: $x^3-x=(x+1)x(x-1)$ tiene tres ceros (dos por $p=2$), por lo que no puede ser surjective. Así que algo de $x^3-x-a$ no tiene ceros, y un cúbicos con no lineal de los factores es irreductible.

Este enfoque no generalizar a cualquier otra; necesitamos tener en cuenta para algo más que lineal factores para comprobar que un polinomio de grado $\ge 4$ es irreductible.

Oh, y su ejemplo para polinomios cuadráticos no es universal; tanto $x^2=x\cdot x$ e $x^2+1=(x+1)(x+1)$ factor de $p=2$. Tenemos un caso especial $(x^2+x+1)$ para que.

Answer 3

El recuento.

Encontrar el número de monic (irreductible) polinomios de grado $1$.

Contar el número de monic polinomios de grado $2$ y restar el número de reducible queridos (factor) para encontrar el número de irreductible cuadráticas.

Ahora haz lo mismo para el grado $3$. El reducible queridos factor en tres factores lineales o uno lineal factor y una irreductible cuadrática.

Este método se puede generalizar.

Answer 4

Si un grado $3$ polinomial es reducible sobre un campo, entonces tiene una raíz. Así que (solo) necesitas un grado $3$ polinomial sin una raíz.

Hay % polinomios irreducibles $\frac{p^3-p}3$ monic de grado $3$ , de acuerdo con este argumento .