Encuentre una matriz y una fórmula analítica para un mapa lineal$f: \mathbb R^{4} \rightarrow \mathbb R^{3}$

Question

Este mapa lineal $f: \mathbb R^{4} \rightarrow \mathbb R^{3}$ cumple con las condiciones: \begin{align}\newcommand{\ran}{\operatorname{ran}} f(1,2,3,1) &=(1,3,1) \\ (1,5,4,1) &\in \ker f\\ (1,1,2) &\in \mathrm{im} f \\ (7,5,0) &\in \mathrm{im} f \end {align} Creo que para hacer esta tarea primero, debo crear una matriz, así que tengo: $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & | & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 0\\ & & & & | & 1 & 1 & 2\\ & & & & | & 7 & 5 & 0 \end {bmatrix} $$ Sin embargo, no sé cómo usar la información sobre $\mathrm{im} f$, por lo que mi matriz está incompleta.

Answer 1

$\newcommand{\ran}{\operatorname{ran}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$Supongo que quieres una matriz que se corresponden con el lineal mapa con respecto a la norma base.

Primero de todo, permítame decirle que usted no puede encontrar una solución única para este ejercicio. Así que en algún momento usted tiene que elegir algunas de las propiedades de la solución.

Deje $v_1 = \left(\begin{smallmatrix}1 \\ 2\\3 \\ 1\end{smallmatrix}\right)$ e $v_2 = \left(\begin{smallmatrix}1\\5\\4\\1\end{smallmatrix}\right)$. Usted tiene que elegir dos más vectores $v_3,v_4$, de tal manera que $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ es una base de $\R^{4}$. Una opción posible sería $v_3 = \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\\ 0\end{smallmatrix}\right)$ e $v_4 = \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\\ 1\end{smallmatrix}\right)$. A continuación, elige a que $f$mapas $$ v_3 \mapsto \left(\begin{smallmatrix}1\\1\\2\end{smallmatrix}\right) \quad v_4 \mapsto \left(\begin{smallmatrix}7\\5\\0\end{smallmatrix}\right). $$ Ahora sólo tienes que calcular la imagen de $e_1 (=\left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\\0\end{smallmatrix}\right))$ e $e_2 (=\left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\\0\end{smallmatrix}\right))$. \begin{align} \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 7 \\ 3 & 0 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ \end{de la matriz}\right) \rightsquigarrow \text{muchos pasos elementales} \rightsquigarrow \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline -\frac{23}{3} & -\frac{2}{3} & 1 & 7 \\ -\frac{7}{3} & -\frac{4}{3} & 1 & 5 \\ -3 & -1 & 2 & 0 \\ \end{de la matriz}\right) \end{align} Por lo tanto, la matriz que representa el lineal de asignación de $f$es $$ \left( \begin{matrix} -\frac{23}{3} & -\frac{2}{3} & 1 & 7 \\ -\frac{7}{3} & -\frac{4}{3} & 1 & 5 \\ -3 & -1 & 2 & 0 \\ \end{de la matriz}\right). $$

Answer 2

Las Matrices son sólo lineal mapas, y así se definen por el lugar de enviar los elementos de cualquier base. Si construimos una base de $(1,2,3,1)$, $(1,5,4,1)$, y cualquiera de los dos vectores que la forman, junto con los dos, un conjunto linealmente independiente, entonces sólo tenemos que enviar todo a la derecha lugares, y hemos terminado (podemos hacer esto porque $(1,2,3,1)$ e $(1,5,4,1)$ son linealmente independientes, de lo contrario esto no sería posible en general). Por lo tanto, vamos a empezar por escoger nuestros otros dos vectores de la base: esta es esencialmente arbitraria, sino $(1,0,0,0)$ e $(0,0,0,1)$ trabajo, así que vamos a usar estos. Por lo tanto, sólo podemos elegir a nuestros lineal mapa para el que envía a$(1,2,3,1)$ a $(1,3,1)$, $(1,5,4,1)$ a $(0,0,0)$, $(1,0,0,0)$ a $(1,1,2)$, e $(0,0,0,1)$ a $(7,5,0)$. Esto está bien definida debido a que nuestra base es linealmente independiente, y únicamente define lineal en el mapa porque se extiende.

Ahora, para la construcción de una matriz para nuestros lineal mapa, simplemente encontramos las imágenes de la norma vectores de la base: para dos de ellos, es muy fácil, porque ya hemos definido sus imágenes: $f(1,0,0,0) = (1,1,2)$, e $f(0,0,0,1) = (7,5,0)$. Para los otros dos, primero tenemos que escribir en términos de nuestra base de vectores: resulta que $\frac{1}{7}(-4(1,2,3,1) + 3(1,5,4,1) + (1,0,0,0) + (0,0,0,1)) = (0,1,0,0)$, e $\frac{1}{7}(5(1,2,3,1) - 2(1,5,4,1) - 3(1,0,0,0) - 3(0,0,0,1)) = (0,0,1,0)$, por lo que \begin{align*}f(0,1,0,0) &= \frac{1}{7}(-4f(1,2,3,1) + 3f(1,5,4,1) + f(1,0,0,0) + f(0,0,0,1)) \\&=\frac{1}{7}(-4(1,3,1) + 3(0,0,0) + (1,1,2) + (7,5,0)) \\&=\left(\frac{4}{7},\frac{-6}{7},\frac{-2}{7}\right),\end{align*} y \begin{align*}f(0,0,1,0) &= \frac{1}{7}(5f(1,2,3,1) - 2f(1,5,4,1) - 3f(1,0,0,0) - 3f(0,0,0,1)) \\&= \frac{1}{7}\left(5(1,3,1) - 2(0,0,0) + (1,1,2) + (7,5,0)\right) \\&= \left(\frac{13}{7},3,1\right).\end{align*}

Ahora podemos montar en nuestro matriz: nuestros lineal mapa de la matriz, con respecto a la norma base

$$\left(\array{1&\frac{4}{7}&\frac{13}{7}&7\\1&\frac{-6}{7}&3&5\\2&\frac{-2}{7}&1&0}\right).$$

[NOTA: he asumido que estás escribiendo tus matrices de la izquierda, a pesar de haber utilizado los vectores fila. Si mi suposición es incorrecta, la transposición de esta matriz]

Como te habrás dado cuenta, este no es el único. Para terminar las cosas con la fórmula analítica:

$$f(x,y,z,w) = \left(\array{1&\frac{4}{7}&\frac{13}{7}&7\\1&\frac{-6}{7}&3&5\\2&\frac{-2}{7}&1&0}\right)\left(\array{x\\y\\z\\w}\right) = \left(\array{x+\frac{4y}{7}+\frac{13z}{7}+7w\\x-\frac{6y}{7} + 3z + 5w\\2x -\frac{2y}{7}+z}\right).$$