¿Por qué se debe cerrar el soporte?

Question

Al parecer, es importante que el apoyo se define como el cierre de la $\{f \neq 0\}$. Debido a que la condición de la globalización está permitido el ejercicio a continuación se indica. Sin embargo, no tengo idea de por qué es tan importante que el apoyo se define como el cierre de la $\{f \neq 0\}$?

El ejercicio:

Sean (X, $\mathcal{T}$) ser un espacio topológico, U $\subset$ X abrir y $\eta$ $\in$ C(X) , (C(X) es el espacio de funciones continuas en X) en U. Entonces, para cualquier mapa continuo $g:U \rightarrow \mathbb{R}$,

$(\eta \cdot g): X \rightarrow \mathbb{R}$,

$(\eta \cdot g)(x) = \eta (x)g(x)$ si $x \in U$ y

$(\eta \cdot g)(x) = 0$ si $x \notin U$

es continua. Mostrar que esta declaración se produce un error si sólo suponemos que $\{f \neq 0\} \subset U$.

He sido capaz de demostrar que el mapa de $g : U \rightarrow \mathbb{R}$ es continua. Sin embargo, todavía no entienden la importancia de la clausura y por qué el mapa de lo contrario, no es continuo.

Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Imagine que tiene una función de $\eta$ que satisface $\eta(x) \neq 0$ para todos los $x \in U$ mientras $\eta(x) = 0$ para todos los $x \in X \setminus U$. Si $X$ está conectado y $U \neq \emptyset, X$ , a continuación, una función de este tipo va a satisfacer $\{ x \in X \, | \, \eta(x) \neq 0 \} = U \subseteq U$ pero no satisface la $$\overline{ \{ x \in X \, | \, \eta(x) \neq 0 \} }= \overline{U} \subseteq U.$$

Tome $g \colon U \rightarrow \mathbb{R}$ a ser la función de $g(x) = \frac{1}{\eta(x)}$. A continuación, $g$ es continua en a$U$ porque $\eta$ no se desvanezca en $U$ pero "$\eta \cdot g$" es la función característica de a$U$ por lo que no es continuo.

Para ver un ejemplo concreto, tome $X = \mathbb{R}, U = (-1,1)$y $$\eta(x) = \begin{cases} 1 - |x| & |x| < 1,\\ 0 & |x| \geq 1. \end{casos}$$ A continuación, $\eta \cdot g$ es la función característica de a$(-1, 1)$ que es discontinua en a$x = \pm 1$.