Estoy estudiando para el personal de la diversión y la cultura de la teoría de grupo, específicamente de la órbita estabilizador teorema. He continuación, encontré este interesante problema:
Vamos un grupo de $G$ actuando en $\Omega$ y tome $\alpha,\beta\in\Omega$, $x\in G$ e $\alpha^x=\beta$ (significado $x$ actúa en $\alpha$ conseguir $\beta$). Mostrar que si $y\in G$ e $\alpha^y=\beta$ $\implies \exists g\in \operatorname{Stab}(\alpha)$ s.t. $y=gx$, es decir, $y\in \operatorname{Stab}(\alpha)x$.
En palabras, esto equivale a reclamar todos los elementos del grupo moviendo $\alpha$ a $\beta$ pertenecen al grupo dado por el estabilizador de elementos de $\alpha$ seguido por una conjetura movimiento del elemento $\alpha$ a $\beta$.
Para tener una mejor visual mental de la comprensión de que, he usado las simetrías de rotación de un cubo que actúa sobre el conjunto de cubo de caras. En este caso, dado un movimiento de rotación de un rostro a otro, se pueden obtener los giros que realicen la misma cosa de usar la estabilización de los subgrupos de cada cara. Este es el conjunto de rotaciones alrededor de un eje asesino a la cara a la mitad, y es isomorfo a un grupo cíclico de orden 4. Así, cada estabilizador de rotación seguida de la inicial de la rotación de una cara para el objetivo uno, te da la lista completa de movimientos.
Dicho esto, he tratado de mostrar que tales $g$ elemento existe (problema 3.3 de Grupos y Personajes del libro), pero no estoy totalmente seguro de que esta demostración es completa. Va como esto:
Vamos a tomar el elemento $g\in G$ s.t. $y=gx$, es decir, $g=yx^{-1}$. También podemos reclamar $\alpha^y=\alpha^x$ así, en sustitución de la y: $$\alpha^{gx}=\alpha^x \implies (\alpha^g)^x = \alpha^x$$ Pero esto puede ser cierto sólo iff:$$\alpha^g=\alpha \implies g\in \operatorname{Stab}(\alpha) \implies y\in \operatorname{Stab}(\alpha)x$$
Me preguntaba si esto es suficiente, o si me estoy perdiendo algo. Quiero decir: es esto suficiente para una prueba de que los elementos $\in \operatorname{Stab}(\alpha)x$ son los únicos que están llevando a $\alpha$ a $\beta$?
También me pregunto si no podría ser una reductio ad absurdum posible versión de este, es decir, "Vamos a suponer que tal $g \notin \operatorname{Stab}(\alpha)$ . . . " y derivar de ello una contradicción.
Gracias por su valioso apoyo de antemano.
