$1+ {1\over 11}+ {1\over 111}+ {1\over 1111}+....=?$

Question

Cuál es la suma de la serie $$1+ {1\over 11}+ {1\over 111}+ {1\over 1111}+....$$ La suma parcial es una secuencia superior monotónicamente creciente y acotada, por lo que la suma debe salir en real.

Answer 1

Esta respuesta es consecuencia de los comentarios de Noble Mushtak sobre la simplificación de la suma y la solución de forma cerrada en Wolfram Alpha.

El Función q-digamma puede escribirse como

$$\psi_q(z)=-\ln(1-q)+\ln q\sum_{n=0}^\infty\frac{q^{n+z}}{1-q^{n+z}}$$

Así que la suma $$\sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n-1}=9\sum_{n=0}^\infty\frac{10^{-n-1}}{1-10^{-n-1}}$$ Así que si dejamos que $q=\frac1{10}$ entonces esto es $$9\sum_{n=0}^\infty\frac{q^{n+1}}{1-q^{n+1}}=\frac{9\left(\psi_{\frac1{10}}(1)+\ln\frac9{10}\right)}{\ln\frac1{10}}=\frac{9\left(\ln\frac{10}9-\psi_{\frac1{10}}(1)\right)}{\ln{10}}$$

Tal y como lo da Wolfram Alpha.