Encontrar extremos de función.

Question

Tenemos la función $$f_a(x)=\frac{a-x}{\ln (a-x)}, \ a\in \mathbb{R}$$

Para conseguir el dominio de la función que debemos tener en cuenta las siguientes restricciones: $$\begin{cases}\ln (a-x)\neq 0 \\ a-x>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a-x\neq 1 \\ a-x>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\neq a-1 \\ x<a \end{cases}$$ So the domain is $$D_f=\{x\in \mathbb{R}: x<a \ \text{ and } x\neq a-1\}$$ Es esto correcto?

La función de la raíz desde $f_a=0 \Rightarrow a-x=0 \Rightarrow x=a\notin D_f$, ¿verdad?

A continuación, desea determinar las extremas. La primera derivada es $$f_a'=\frac{-\ln (a-x)+1}{\left (\ln (a-x)\right )^2}$$ The root of the first derivative is $x=a-e$.

Para comprobar si esto es un mínimo o un máximo tenemos la segunda derivada, que es en $x=a-e$ positivo, así que tenemos un mínimo.

Es todo correcto?

Es este el único extremo, o tenemos que revisar también los puntos donde las funciones no está definida, es decir, $x=a$ e $x=a-1$ ?

Answer 1

Todo está correcto hasta ahora, pero para completar su estudio de los extremos globales / locales, también debe evaluar los límites en el límite del dominio $D_f$ , $$\lim_{x\to -\infty}f(x),\quad \lim_{x\to (a-1)^-}f(x),\quad \lim_{x\to (a-1)^+}f(x),\quad \lim_{x\to a^-}f(x).$ $ ¿Está interesado también en determinar el convexidad / concavidad de $f$ ? Entonces necesitas discutir el signo de $f''$ en $D_f$ .

Answer 2

La función tiende a $\pm\infty$ en los puntos que las funciones no están definidas, por lo tanto, el punto que obtuvo es el único mínimo local . Para comprobar esto gráficamente, puede referirse a La gráfica de $\Large {-x\over \ln (-x)}$