Evaluar

Question

Problema

Deje que $f(x)$ sea continuamente diferenciable. $f(0)=0$ y $f'(0) \neq 0$ . Evaluar $ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\int_0^{x^2}f(t){\rm d}t}{x^2\int_0^x f(t){\rm d}t}.$

Solución

Considera aplicar la regla de l'Hôpital.

\begin{align*} \lim_{x \to 0}\frac{\int_0^{x^2}f(t){\rm d}t}{x^2\int_0^x f(t){\rm d}t}&=\lim_{x \to 0}\frac{2xf(x^2)}{2x\int_0^x f(t){\rm d}t+x^2f(x)}\\ &=2\lim_{x \to 0}\frac{f(x^2)}{2\int_0^x f(t){\rm d}t+xf(x)}\\ &=2\lim_{x \to 0}\frac{2xf'(x^2)}{2f(x)+f(x)+xf'(x)}\\ &=4\lim_{x \to 0}\frac{xf'(x^2)}{3f(x)+xf'(x)}\\ \end{align*}

Parece que es imposible continuar desde aquí. ¿Es una pregunta equivocada?

Answer 1

Continúa desde donde te quedaste atascado: $$ \ cdots = 4 \ lim_ {x \ a 0} \ frac {f '(x ^ 2)} {3 \ dfrac {f (x)} x + f' (x)} = \ frac {4f '(0)} {4f' (0)} = 1, $$

donde $$ \ lim_ {x \ to 0} \ frac {f (x)} x = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {f (x) -f (0)} {x - 0}, $$ y $f'$ es continuo en $0$ .

Answer 2

Tenemos

$$ \lim_{x\to 0} \frac{\int_{0}^{x^2}f(t) \, \mathrm{d}t}{x^2 \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t} = \lim_{x\to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} f(t) \, \mathrm{d}t / x^4}{\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t / x^2}. \etiqueta{*} $$

Ahora por la L'Hospital de la regla,

• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} f(t) \, \mathrm{d}t}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2x f(x^2)}{4x^3} = \frac{f'(0)}{2} $,

• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x} = \frac{f'(0)}{2} $.

Por lo tanto, el denominador y el numerador de $\text{(*)}$ convergen en el mismo valor que no sea cero y por lo tanto la respuesta es $1$.

Answer 3

Indicación Divida la parte superior e inferior por $x$ :

PS

Tenga en cuenta que, como $$4\lim_{x \to 0}\frac{xf'(x^2)}{3f(x)+xf'(x)}=4\lim_{x \to 0}\frac{f'(x^2)}{3\frac{f(x)}{x}+f'(x)}$ es continuo, tiene $f'$ $

También $$\lim_{x \to 0}f'(x^2)=\lim_{x \to 0}f'(x)=f'(0)$ $

Answer 4

Considere la posibilidad de $$F(x)=\int_0^xf(t)dt$$ A continuación, $F$ tiene la siguiente expansión de Taylor: Para todos los $x$ , en el barrio de $0$existe $c_x$ tal que $|c_x|\leq |x|$ e $$F(x)=F(0)+xF^\prime(0)+\frac{x^2}2 F^{\prime\prime}(c_x)=\frac{x^2}2f^\prime(c_x)$$ Por lo tanto $$\begin{split} \dfrac{\int_0^{x^2}f(t){\rm d}t}{x^2\int_0^x f(t){\rm d}t} &= \frac{F(x^2)}{x^2F(x)}\\ &= \frac{x^4f^\prime(c_{x^2})}{x^4f^\prime(c_x)}\\ &= \frac{f^\prime(c_{x^2})}{f^\prime(c_x)}\\ \end{split}$$ Y desde $f^\prime$ es continua, tanto en el numerador y denominador tienden a $f^\prime(0)$ como $x\rightarrow 0$.

Por lo tanto $$\lim\limits_{x \to 0}\frac{\int_0^{x^2}f(t){\rm d}t}{x^2\int_0^x f(t){\rm d}t}=1$$

Answer 5

A través de la definición del derivado tenemos $$f(t) =f(0)+tf'(0)+o(t)=tf'(0)+o(t)$$ and integrating the above (this involves the use of L'Hospital's Rule) we get $$\int_{0}^{x}f(t)\,dt=\frac{x^2}{2}f'(0)+o(x^2)\tag{1}$$ and thus $$\int_{0}^{x^2}f(t)\,dt=\frac{x^4}{2}f'(0)+o(x^4)\tag{2}$$ By the equations $ (1), (2)$ we can see that the desired limit is $ 1 $ .

Nota : Lo anterior asume que $f$ es continuo en algún vecindario de $0$ y diferenciable en $0$ .