Expresión para la suma de$n$ exponenciales

Question

Así que tengo esta suma de exponenciales y me gustaría encontrar una expresión para ello.

PS

Tenga en cuenta que $$\sum^n_{i=1} e^{\mu(i-1)} $ no es un indicador imaginario. Soy consciente de que hay una fórmula para sumar una suma puramente exponencial, pero no tengo claro qué sucede con el $i$ .

Answer 1

La suma $S$ se puede volver a escribir como $$S= \sum_{i=0}^{n-1} e^{\mu i}=\sum_{i=0}^{n-1} (e^{\mu})^i=\frac{1-e^{\mu n}}{1-e^{\mu}}$$ since the geometric series $$\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}=\frac{1-x^n}{1-x}$ $

Answer 2

Defina $a=e^\mu$ cuando $\mu\ne 0$ . Entonces tienes $$\sum^n_{i=1} e^{\mu(i-1)} =\sum^n_{i=1} a^{i-1}=1+a+\cdots+a^{n-1}={a^n-1\over a-1}={e^{\mu n}-1\over e^\mu -1} $$For $ \ mu = 0$ we obtain$$\sum^n_{i=1} e^{\mu(i-1)}=n$ $

Answer 3

Uno puede recordar que $$ \ sum_ {i = 1} ^ nx ^ {i-1} = \ frac {1-x ^ n} {1-x}, \ qquad x \ neq1. $$ What if you put $ x = e ^ \ mu $ ?

Answer 4

Sugerencia :

Esta es la suma de los $n$ primeros términos de la serie geométrica con relación $\mathrm e^\mu$ , desde $\;\mathrm e^{\mu(i-1)}=(\mathrm e^{\mu})^{i-1}$ .