Si $X$ es un proceso Ito, es $\mathbb E(\int X \mathrm d X)$ ¿convexo?

Question

Considere la función $F$ que se define para cada proceso Ito

$$X(t) = \int_0^t \mu(s) \mathrm d s + \int_0^t \sigma(s) \mathrm d W(s)$$

como

$$F(X) := \mathbb E\bigg(\int_0^T X(s) \mathrm dX(s)\bigg)$$

Ahora me gustaría demostrar que $F$ es convexo, lo que parece intuitivo porque es cierto para los procesos absolutamente continuos.

Debido a la fórmula de Ito / regla del producto,

$$ \int_0^T X(s) \mathrm dX(s) = \frac 1 2 X(T)^2 - \int_0^T \sigma(s)^2 \mathrm ds $$

Si nos limitamos a los procesos Ito para los que tenemos $\sigma = 0$ Por lo tanto, la prueba es muy fácil. Sin embargo, el término de variación cuadrática para $\sigma \ne 0$ parece que lo estropea todo. Por otro lado, el $\sigma$ también se incluye en el $X(T)^2$ término, por lo que no obtenemos inmediatamente un contraejemplo.

¿Hay alguna otra prueba de la afirmación? ¿O la afirmación es errónea y existe un contraejemplo?

Answer 1

Creo que $F$ no es convexo.

En primer lugar, si $\sigma$ es una función "bonita", entonces la integral estocástica $M_t := \int_0^{t} \sigma(s) \, dW_s$ es una martingala lo que implica que $$\mathbb{E} \left( \int_0^T X_s \, dM_s \right)=0,$$ es decir

$$F(X) = \mathbb{E} \left( \int_0^T X_s \mu(s) \, ds \right). \tag{1}$$

Ahora considere $$X_t := \int_0^t W_s \, ds. $$ Se desprende de la propia definición de $F$ que $$F(W) = \mathbb{E} \left( \int_0^T W_s \, dW_s \right)=0,$$ y $(1)$ produce $$\begin{align*} F(X) = \mathbb{E} \left( \int_0^T X_s W_s \, ds \right) &= \mathbb{E} \left( \int_0^T \int_0^s W_s W_r \, dr \, ds \right) \\ &= \int_0^T \int_0^s \underbrace{\mathbb{E}(W_s W_r)}_{=r} \, dr \, ds \\ &= \frac{T^3}{6}. \end{align*}$$ Para cualquier $\lambda \in [0,1]$ tenemos por (1) que

$$\begin{align*} F(\lambda X + (1-\lambda) W) &= \mathbb{E} \bigg( \int_0^T (\lambda X_s + (1-\lambda) W_s) (\lambda W_s+0) \, ds \bigg) \\ &=\lambda^2 \underbrace{\mathbb{E}\left( \int_0^T X_s W_s \, ds \right)}_{\stackrel{(2)}{=} T^3/6} + \lambda (1-\lambda) \mathbb{E} \left( \int_0^T W_s^2 \, ds \right) \\ &= \lambda^2 \frac{T^3}{6} + \lambda (1-\lambda) \frac{T^2}{2}. \end{align*}$$

Si elegimos $\lambda=1/2$ y $T$ lo suficientemente pequeño (por ejemplo $T=1$ ), entonces

$$F(\tfrac{1}{2} X + \tfrac{1}{2} W) = \frac{T^3}{24} + \frac{T^2}{8}$$

es estrictamente mayor que

$$\frac{1}{2} F(X) + \frac{1}{2} F(W) = \frac{T^3}{12}.$$

Esto significa que $F$ no es convexo.