Enfoque de álgebras simples centrales a la teoría de campos de clases, Méritos de.

Question

Como ya se ha señalado anteriormente La lectura del libro de Weil "Teoría básica de los números" me pareció una experiencia angustiosa, y su escritura me parece intrínsecamente difícil de entender, aunque es perfectamente rigurosa y limpia.

En cualquier caso, la segunda parte del libro es "completamente antimoderna", en términos del propio autor. Prescinde de la cohomología y construye toda la teoría basándose en álgebras centrales simples. Y aconseja al lector que haga un ejercicio para sí mismo para elaborar la "cohomología oculta" en ella.

Personalmente lo sentí como una especie de perversión (al igual que la fijación por la medida de Haar en la primera parte) para mostrar al lector que es un poderoso matemático podría hacer las cosas precisamente como él quiere, y mi sensación se vio reforzada por el título "Teoría básica de los números".

Sin embargo, como él es un gran matemático, y yo no soy nadie, no me siento capacitado para despedirlo así. Debe haber algún mérito/utilidad de hacerlo así, en lugar de usar la cohomología. Si alguien puede iluminarme, le estaría muy agradecido.

Una vez más, ¿se puede hacer la teoría del campo de clases con sólo $H^1$ ? Quise estudiar el tema y lo intenté, pero me desanimé durante mucho tiempo por la elección de un libro equivocado, leyendo a Weil, que me sentí como bebiendo sopa de piedra, y me lleva tiempo retomar el tema.

Answer 1

Si usted está buscando una manera más conceptual manera de entender la central de simple álgebras de enfoque del campo de la clase de teoría, creo que te haría bien en mirar Roquette el libro de La Brauer-Hasse-Teorema de Noether en Perspectiva Histórica. El Brauer-Hasse-Teorema de Noether, a menudo referido como el Albert-Brauer-Hasse-teorema de Noether (Adrian Albert, un americano, descubrió parte del teorema de forma independiente), afirma que un central simple álgebra definida sobre un campo de número de divisiones a nivel mundial si y sólo si se divide por todas partes a nivel local y está íntimamente relacionado con el campo de clase de teoría.

Todo el libro está a sólo 80 páginas de largo, y sólo toma un par de horas para leer. Usted debe fijamos especialmente en el Capítulo 6: El grupo de Brauer y campo de clase de teoría. Las últimas páginas de este capítulo hacer explícita la aplicación de un trabajo realizado con el centro de simple álgebra de operadores para la clase de teoría de campo y la conexión entre este enfoque y el más moderno cohomological enfoque.

[Edit 1] Como Franz ha señalado, la aplicación de la teoría de la central de simple álgebras de campo de la clase de teoría no es sólo otro enfoque, sino que fue el original enfoque. La conexión con cohomology se plantea de la siguiente manera:

Para un campo de extensión de la $K/k$, denotan por $Br(K/k)$ la Relación Brauer grupo de $k$ con respecto al $K$. Explícitamente, es el núcleo de la homomorphism $Br(k) \rightarrow Br(K)$. A continuación,$Br(k)=\cup Br(K/k)$. No es muy difícil demostrar que los elementos de estos relativa Brauer grupos ($K/k$ Galois) están en correspondencia uno a uno con cierto factor de conjuntos relativos a $K$. Estas factor de conjuntos surgen de forma natural como los elementos de $H^2(K/k)$, en última instancia, dando un isomorfismo $Br(K/k)\cong H^2(K/k)$. Este isomorfismo permite traducir los resultados como el de Albert-Brauer-Hasse-teorema de Noether en el tal vez más familiar cohomological idioma.

[Edit 2] al Parecer, Roquette el libro está disponible en línea (junto con muchas otras joyas).

Answer 2

Weil es el enfoque histórico: durante la década de 1930, Hasse (con la ayuda de un montón de gente, demasiado numerosos para mencionarlos) logró en la construcción de un campo de la clase de teoría de la central simple álgebras. Más tarde, en la década de 1950, la gente se dio cuenta de que para llegar campo de la clase de la teoría, la teoría de álgebras podría ser reemplazado por el formalismo de cohomology: Brauer grupos, por ejemplo, que tenía una forma muy concreta significado, se convirtió en resumen cohomology grupos. Para Hasse, y tal vez también por Weil (?), el puramente cohomological enfoque fue "todos los huesos, de carne" - ver Hasse comentarios en su historia de la clase la teoría del campo en Cassels - Fröhlich.

Personalmente, prefiero leer el seco cohomological versión (por ejemplo en Neukirch "Klassenkörpertheorie", que tiene una buena oportunidad de ser traducido al inglés pronto) de Weil libro bastante las mismas razones que tú. En este libro, Neukirch acumula un crece la versión de cohomology para finitos abelian grupos (siempre me le gustaba el libro de Weiss - Cohomology de Grupos - como una primera introducción las cosas que usted necesita para la clase de teoría de campo), mientras que en su posterior el libro se las arregla para hacer todo con solo H⁰ y H¹ (y profinite grupos).

Introducción a la clase de campo usando teoría de álgebras son raros; el libro Álgebra II (Springer, 2008; Engl trad. por S. Levy) contiene un introducción a la clase de teoría de campo a través de álgebras.