Spacetime tiene un número infinito de opciones para la diferenciabilidad. ¿Coincidencia?

Question

El espacio-tiempo puede ser modelado utilizando un cuatrodimensiones topológicas colector. Decir que denotan el colector de uso de $(M, \mathcal{O})$ donde $\dim M =d$. La estructura de $(M,\mathcal{O})$ no es suficiente para hablar de una noción de la diferenciabilidad de una curva en el colector. Necesitamos hacer más decisiones u obtener más información antes de que podamos hablar de la la diferenciabilidad.

Ahora Schuller dice (dentro de los primeros 5 minutos), que para uno, dos y tresdimensiones colectores tenemos sólo una opción para una noción de la diferenciabilidad (o más bien todas las opciones posibles son equivalentes). Para cinco, seis, siete y más dimensiones topológicas colectores hay un finito número de opciones (en cada caso) para hablar acerca de una noción de la diferenciabilidad. De acuerdo con el capítulo 4 de este conjunto de notas de la conferencia, el primero es un corolario de Morse-Radón teoremas, mientras que el segundo es un resultado de la cirugía de la teoría.

Número de $C^{\infty}$-colectores uno puede hacer fuera de la vista $C^0$-colectores (si cualquier) - hasta diffeomorphisms:

\begin{array}{l | c | r } \dim M & \# & \\ \hline 1 & 1 & \text{Morse-Radon theorems} \\ 2 & 1 & \text{Morse-Radon theorems} \\ 3 & 1 & \text{Morse-Radon theorems} \\ 4 & \text{uncountably infinite} & \\ 5 & \text{finite} & \text{surgery theory} \\ 6 & \text{finite} & \text{surgery theory} \\ \vdots & \text{finite} & \text{surgery theory} \end{array}

Este gráfico probablemente tiene algunas excepciones. Por ejemplo, @QiaochuYuan señala que:

Donaldson mostró que Dolgachev superficies han countably muchos suaves estructuras.

Mis preguntas son, básicamente:

1. Es simplemente coincidencia que sólo cuatrodimensiones topológicas colectores tienen infinitas opciones para hablar acerca de una noción de la diferenciabilidad? ¿O es que esta tiene un significado físico?

2. Fundamentales de los postulados de la física podría cambiar si decimos que nuestro espacio-tiempo fuera (por ejemplo) un tresdimensiones o un cincodimensiones topológicas colector con sólo un finito número de opciones para una noción de la diferenciabilidad?

Answer 1

El siguiente es sólo mi rápido y sucio intento de decir que los más simples y delicados, cosas que puedo decir con base en una rápida de navegar a través de las referencias de esta pregunta. No soy un especialista, y esto puede ser malo.

Es simplemente coincidencia que sólo cuatrodimensiones topológicas colectores tienen infinitas opciones para hablar acerca de una noción de la diferenciabilidad? ¿O es que esta tiene un significado físico?

Los colectores se convierten en un montón de lugares en la física, no sólo como el colector que representa el espacio-tiempo. En cualquier momento que usted escriba un conjunto de variación continua de los parámetros para describir un sistema, que es un colector. No están bien establecidas las aplicaciones de exóticos suavidad en probar ciertas cosas acerca de QFT, pero si estoy entendiendo bien, esto no tiene nada que ver con la estructura de la base de espacio-tiempo, que es todavía el ordinario de la relatividad especial.

Carl Brans ha hecho algunos trabajos en lo que sucede en el clásico GR si reemplazar el estándar liso estructuras de espacio-tiempo en sí, con más exóticas, pero esto parece ser muy especulativas, y probablemente no ayuda a que estos liso estructuras nunca han sido explícitamente construido, sólo resultó existen.

Así que si mi lectura sobre el estado de la técnica es correcta, entonces no sabemos si estos exóticos suave estructuras de tener alguna importancia en todos los modelos de espacio-tiempo. Por lo tanto, es evidente que no puede decir nada acerca de si las propiedades especiales de 4 dimensiones son o no son una coincidencia.

Fundamentales de los postulados de la física podría cambiar si decimos que nuestro espacio-tiempo fuera (por ejemplo) un tresdimensiones o un cincodimensiones topológicas colector con sólo un finito número de opciones para una noción de la diferenciabilidad?

No postula que iba a cambiar. GR funciona en cualquier colector y no postular nada acerca de un colector de ser más que otro.

También tenga en cuenta que no habría ningún efecto en el local de la física, ya que, por definición, cada 4-colector a nivel local es el mismo que todos los demás. No hay consequuences que podría ser probado en experimentos con aceleradores, por ejemplo. Sólo la estructura global del espacio-tiempo sería diferente.