Mostrar que$F$ no es representable

Question

Mientras trato de encontrar (contrarrestar) ejemplos de funtores representables, intenté buscar algunos ejemplos instructivos.

Uno de los contraejemplos con los que tengo problemas es el siguiente: Mostrar que el functor $$ F:CRings \rightarrow Sets: R \mapsto \left\{r^2 \rvert r \in R\right\}$ $ no se puede representar. Cualquier ayuda es apreciada :)

Answer 1

Un functor $F$ es representable si y sólo si su categoría de elementos que tiene un objeto inicial.

Así que vamos a $\mathcal{C} = \mathbf{CRing}$ y deje $F : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ estar como en tu pregunta. Los objetos de su categoría de elementos $\int^{\mathcal{C}} F$ son pares $(R, r^2)$ donde $r \in R$, y una de morfismos $f : (R, r^2) \to (S, s^2)$ es un anillo homomorphism $f : R \to S$ tal que $f(r^2) = s^2$.

Demostramos $\int^{\mathcal{C}} F$ no tiene objeto inicial.

Deje $f : (R, r^2) \to (\mathbb{C}, -1)$ ser arbitraria de morfismos en $\int^{\mathcal{C}} F$.

A continuación, $f : R \to \mathbb{C}$ es un anillo homomorphism tal que $f(r^2) = -1$, y por lo $f(r) = \pm i$.

Definir $g : R \to \mathbb{C}$ por $g(x) = \overline{f(x)}$ por cada $x \in R$. Entonces:

• $g$ es un anillo homomorphism ya que es un compuesto de dos anillos homomorphisms;
• $g \ne f$, desde el $g(r) = \overline{f(r)} = \overline{\pm i} = \mp i \ne f(r)$;
• $g(r^2) = \overline{f(r^2)} = \overline{-1} = -1$;

Por lo $g$ es una de morfismos $(R, r^2) \to (\mathbb{C}, -1)$ en $\int^{\mathcal{C}} F$ distinta de la de $f$.

Pero esto significa que no hay ningún objeto inicial en $\int^{\mathcal{C}} F$, ya que si no fuera así, sería un único morfismos de ese objeto a $(\mathbb{C}, -1)$ en $\int^{\mathcal{C}} F$, contrario a lo que acabo de mostrar.