Mi pregunta es cómo probar que $f(x) = \sqrt x - 2x^2$ tiene su máximo en el punto de $x_0 = \frac{1}{4}$
Es fácil de hacer, que por la búsqueda de sus derivados y de ajuste a cero (esto es cómo conseguí $x_0 = \frac{1}{4}$). Pero la tarea es hacer que sin el uso de cualquier cálculo de herramientas y yo estoy atrapado en ella.
Mi idea era introducir a $t = \sqrt x$ conseguir $f(t) = t - 2t^4$ y, a continuación, encontrar su máximo porque sé cómo hacerlo con la parábola que puede ser transformado a $a(x-x_0)^2 + y_0$. Así que yo estaba tratando de convertir a $f(t) = t - 2t^4$ a $f(t) = a(x-x_0)^4 + y_0$ pero parece imposible.
Mi segundo pensamiento fue el uso de la definición de la subida de la función en un intervalo, así que se supone tenemos $a, b \in \left(0; \frac{1}{4}\right) \text{and } a < b$. Entonces puedo demostrar que $$\sqrt a - 2a^2 < \sqrt b - 2b^2$$ $$2(b - a)(a + b) < \sqrt b - \sqrt a$$ $$ 2(\sqrt a + \sqrt b)(a + b) < 1$$ which is true since $0 < un < b < \frac{1}{4}$
Exactamente de la misma manera puedo probar que para cada $a, b \in \left(\frac{1}{4}; +\infty\right) \text{and } a < b$ $$\sqrt a - 2a^2 > \sqrt b - 2b^2$$
Así que tenemos que $f(x)$ es el aumento en $\left(0; \frac{1}{4}\right)$ y la disminución en el $\left(\frac{1}{4}; +\infty\right)$, en consecuencia, en $\frac{1}{4}$ tenemos un máximo de $f$
Pero yo creo que no es justo para el uso de derivados para encontrar el máximo y, a continuación, simplemente demostrar que este valor es correcto. Hay una mejor solución? ¿Cuáles son sus pensamientos acerca de mi prueba?
UPD: hay un montón de soluciones que son formalmente OK pero primero tenemos que adivinar $x_0 = \frac{1}{4}$ o $y_0 = \frac{3}{8}$. Mi objetivo es encontrar una solución que no depende de la adivinación y creo que la desigualdad anterior es la mejor manera de hacer que
