Sea $f_n$ sea el número obtenido concatenando el primer $n$ números (en base 10). Por ejemplo
$f_1 = 1, f_3 = 123$ y $f_{13} = 12345678910111213.$
Ahora bien $n$ es par o divisible por $5$ entonces también lo es $f_n$ y si $n(n+1) \equiv 0 \pmod{3}$ entonces $f_n$ es divisible por $3.$ Mi pregunta es
Es $f_n$ ¿siempre compuesto?
Verificando la pregunta con un ordenador me sale que vale para $n$ hasta $1000$ pero no veo cómo probarlo.
No parece ser el caso que $f_n$ siempre tiene divisores primos pequeños como por ejemplo $f_7 = 127 \cdot 9721.$
De ahí que no vea ningún planteamiento sencillo a esta cuestión.
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No creo que haya una buena manera. La concatenación de dígitos consecutivos no tiene una buena descripción matemática simple (intenta expresarlo en símbolos, en lugar de describirlo con lenguaje) Fíjate que te quedan los casos en los que $n \equiv 1 \pmod{6}$ y $f_7, f_{13}$ no son fácilmente factorizables.
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@CalvinLin $\lfloor 10^n C_{10}\rfloor$ donde C es Constante de Champernowne ...
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Heurísticamente, debería haber un primo en alguna parte. $f_n \lt 2\cdot 10^n$ así que usando el hecho de que un número "aleatorio" $m$ tiene $\frac 1{\log m}$ de ser primo, podemos hallar que el número "esperado" de primos es mayor que $\sum \frac 1{\log (2\cdot 10^n)}$ que diverge. Incluso haciendo $\sum \frac 1{\log (2\cdot 10^{6n+1})}$ para ocuparse de los pares y divisibles por $3$ casos diverge. Sin embargo, eso no ayuda a encontrar uno.
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He completado pruebas hasta 53.000 sin encontrar un primo, pero como dice Charles, los esperamos eventualmente.
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@DanaJ: Puede considerar la posibilidad de enviar sus cálculos a la OEIS @ oeis.org/A007908, ya sea ahora o cuando llegue al próximo límite "natural".